Норма оператора

Def: Нормой линейного оператора A Î L (V, V) называется число || A || определяемое равенством || A || = .

Из определения нормы линейного оператора возникает очевидное и очень полезное неравенство || A || £ || A ||×|| х ||.

Т°. Для эрмитового оператора А: || A || = .

◀ Обозначим m = .

1) Вспомним неравенство Коши-Буняковского (х, у)²£ (х, х)(у, у) запишем |(х, у)|£ || x ||×|| y || Þ

Þ |(Aх, x)| £ || Ax ||×|| x || £ || Ax ||×|| x ||×|| x || = || A ||×|| x ||², т.е. |(Aх, x)| £ || A ||×|| x ||² и пусть || x || = 1.

|(Aх, x)| £ || A ||

т.е. m £ || A || (*)

2) Отметим: |(Az, z)| £ |(Az /|| z ||, z/|| z ||)| × || z ||² £ || z ||² × sup|(Az /|| z ||, z/|| z ||)|,

т.е. |(Az, z)| £ m|| z ||² и теперь рассмотрим разность:

(A (х + у), х + у) – (А (х – у), х – у) = (Ах, х) + (Ах, у) + (Ау, х) + (Ау, у) – (Ах, х) + (Ах, у) + (Ау, х) – (Ау, у) = 2(Ах, у) + 2(Ау, х) = 2((Ах, у) + (у, Ах)) = 2((Ах, у) + ()) = 4Re(Ах, у), т. е. 4Re(Ах, у) = (A (x + y), x + y) – (А (х – у), х – у).

Тогда:

4|Re(Ах, у)| = |(A (x + y), x + y) – (А (х – у), х – у)| £ |(A (x + y), x + y)| + |(А (х – у), х – у)| £

£ m((x + y, x + y) + (х – у, х – у)) = m((x, x) + (y, y)+ (х, у)+ (y, x) + (x, x) +(y, y) – (x, y) – (y, x)) =

= 2m((x, x) + (y, y)) = 2m (|| x ||² + || y ||²). Отсюда, при || x || = || y || = 1

4|Re(Ах, у)| £ 4m Þ| Re(Ах, у)| £ m.

Положим теперь (очевидно || y || = 1):

.

Тогда , т.е. || А || £ m.

В 1) и 2) доказано, что || А || ³ m и || А || £ m, т.е. || А || = m = ▶