Специальное представление линейных форм

10 11 12 13 14 15 16

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина

Н.Р. Беляев

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА

Часть II

Конспект лекций для студентов физико-технического факультета

Харьков-2004

Линейные и полуторалинейные формы

В унитарном пространстве

Специальное представление линейных форм

Пусть V – унитарное пространство. Пусть " x Î V ® f (x)Î C, такое что:

1) f (x ₁ + x ₂) = f (x ₁) + f (x ₂);

2) f (a x) = a f (x).

Тогда говорят, что из V в C задан линейный функционал f или линейная форма f (f Î L (V, C)).

T°. Пусть f Î L (V, C), т. е. f – линейная форма, тогда существует единственный h Î V

такой, что f (x) = (x, h).

◀ Пусть { e _i} – ортонормированный базис V

" x Î V; ,

т.е. вектор h имеет координаты .

Единственность: Пусть f (x) = (x, h ¹) = (x, h ²) Þ (x, h ¹ – h ²) = 0; " x Î V. Возьмем x = h ¹ – h ²Þ (h ¹ – h ², h ¹ – h ²) = 0, т.е. h ¹ = h ² ▶

Примечание: в вещественном пространстве теорема и ее доказательство также справедливы, но в доказательстве не ставится знак комплексного сопряжения.

§2. Специальное представление полуторалинейных форм

Пусть " x, у Î V ® В (х, у)Î С такое, что

;

Тогда говорят, что в унитарном пространстве задана полуторалинейная форма В (x, y).

(В евклидовом пространстве полуторалинейная форма становится билинейной).

Выберем в V базис { e _i}.

" у Î V .

Действие формы В (x, y) однозначно определенно если известны элементы b_ij. Матрица В с элементами b_ij, называется матрицей полуторалинейной формы.

Тº. Пусть В – полуторалинейная форма в V. Тогда существует единственный

линейный оператор А Î L (V, V) такой, что В (x, y) = (x, Ay).

◀ . Оказывается

, т.е. " y Î V ® h Î V. Таким образом, определен оператор h = Ay.

Линейность:

(x, A (a₁ y ₁ + a₂ y ₂)) = B (x, a₁ y ₁ + a₂ y ₂) = B (x, y ₁) + B (x, y ₂) = (x, Ay ₁) + (x, Ay ₂) =

= (x, a₁ Ay ₁) (x, a₂ Ay ₂) = (x, a₁ Ay ₁+ a₂ Ay ₂), т.е. А (a₁ y ₁ + a₂ y ₂) = a₁ Ay ₁+ a₂ Ay ₂.

Единственность:

Пусть B (x, y) = (x, A ₁ y) = (x, A ₂ y), тогда (x, A ₁ y – A ₂ y) = 0 Þ A ₁ y = A ₂ y " у Î V, т.е. A ₁ = A ₂▶

Тº. Пусть В – полуторалинейная форма в V. Тогда существует единственный

линейный оператор " А Î L (V, V)такой, что B (x, y) = (Ax, y).

◀ " х Î V или, что тоже определен оператор А такой, что h = Ax. При этом (A (a₁ х ₁ + a₂ х ₂), у) = В (a₁ х ₁ + a₂ х ₂, у) = a₁ В (х ₁, у) + + a₂ В (х ₂, у) = a₁(Ах ₁, у) + a₂(Ах ₂, у) = (a₁ Aх ₁ + a₂ Aх ₂, у) = A (a₁ х ₁ + a₂ х ₂) = a₁ Aх ₁ + a₂ Aх ₂т.е. оператор А линейный.