Пусть А – эрмитов оператор; l1 ³ l2 ³ … ³ l n собственные значения этого оператора и { е 1, е 2, …, еm } – соответствующий им ортонормированный собственный базис. Тогда " x Î V ; Ax = .
Def: Оператор Рk: Pkx = (x,ek) ek, называется оператором-проектором или просто проектором на одномерное пространство, порожденное вектором { ek }.
Свойства проекторов:
1°. Pk – самосопряженный (эрмитов).
◀ (Pkx, y) = ((x,ek) ek, y) = (x,ek)(ek,y) = (x, ek) = (x, (y,ek) ek) = (x, Pky) ▶
2°. = Pk. ◀ = Pk (Pkx) = Pk (x,ek) ek = (x,ek) Pek = (x,ek)(ek,ek) ek = (x,ek) ek = Pkx ▶
3°. PkPj = 0, (x ¹ j). ◀ PkPj x = Pk (Pj x) = Pk (x,ej) ej = (x,ej) Pkej = (x,ej) ek = 0 ▶
Для операторов - проекторов Pk имеем:
.
Такое представление эрмитового оператора А называется его спектральным разложением. Обратим еще внимание: .
Def: Пусть Р (λ) – произвольный полином р й – степени, т.е. . Тогда определим полином от оператора слеующим образом: .
Тº. (Гамильтона-Кэли). Эрмитов оператор А является корнем своего
характеристического полинома: если .
◀ ▶