2015-05-05
505
Корень m -й степени из оператора
Def: Эрмитов оператор А называется положительным, если " х Î V, (Ax, x) ³ 0. Если, кроме того, из (Ax, x) = 0 Þ x = 
, то А называют положительно определенным оператором (Обозначается: A ³ 0, A > 0 соответственно).
Тº. Каждое собственное значение положительного (положительно определенного)
оператора неотрицательно (положительно).
◀ Если λ – собственное значение А, то $ x такой, что || x || = 1, (Ax, x) = l (было доказано), отсюда следует утверждение теоремы ▶
Def: Корнем m -й степени из оператора А называется такой оператор В, что Вm = A.
Тº. Если А – положительный эрмитов оператор (А ³ 0), то " m Î N существует
положительный эрмитов оператор 
◀ Пусть l k - собственные значения А (k =1, 2, 3,…, n) и { ek } - ортонормированный собственный базис, 
(спектральное разложение) и при этом l k ³ 0. Рассмотрим оператор 
. Изучим свойства оператора В. Оператор В:
а) эрмитов: 
;
б) положителен: 
;
в) 
. Теорема доказана. ▶
Примечание: В ортонормированном базисе { ek } из собственных векторов матрица оператора А и матрица А 1/ m имеют вид: 
,
.
