Примеры тензоров

1°. Нуль-тензор – это тензор все координаты которого, в некотором (а, следовательно, в

любом базисе) равны нулю.

2°. Символ Кронекера. Тензор А типа (1, 1) в базисе { e_i } имеет координаты .

® = =

Т.е. действительно можно рассматривать как тензор типа (1, 1).

3°. Пусть А (x, y) – билинейная форма. Напомним, что в базисе { e_i }: A (x, y) = A (xⁱe_i, y^je_j) =

= A (e_i, e_j) xⁱy^j = a_ijxⁱy^j. Здесь a_ij – элементы матрицы билинейной формы А в базисе { e_i }.

Рассмотрим, как изменяется матрица билинейной формы при переходе к базису { e_{i ¢}}.

a_ij = A (e_{i ¢}, e_{j ¢}) = = A (e_i, e_j) = a_ij.

Равенство a_ij = a_ij, показывает, что матрица билинейной формы представляет собой тензор А типа (2, 0) ранга 2.

Пусть А линейный оператор: y = Ax. В некотором базисе : = А ( )= А =

Т.е. = , – элементы матрицы линейного оператора в базисе { e_{i ¢}}.

Рассмотрим базис { }.

= . Воспользуемся тем, что = ; = .

= | умножим обе части на и просуммируем по j.

= Þ =( ) Þ = .

Тогда =

Последнее равенство показывает, что матрица линейного оператора может рассматриваться как тензор А типа (1,1) ранга 2.