Преобразование базиса и координат

Пусть в E_n задана { e_i } и { eⁱ } –пара взаимных базисов, а { e_{i ¢}} и { e^{i ¢}} некоторая другая пара взаимных базисов. Запишем формулы преобразования базисных векторов:

1°. Переход e_i «e_{i ¢}: e_{i ¢} = e_i; e_i = e_{i ¢}. Здесь – матрица перехода от e_i к e_{i ¢}; – матрица перехода e_{i ¢} от к e_i; т.е.матрицы и взаимно-обратны: = .

2°. Переход eⁱ «e^{i ¢}: e^{i ¢} = eⁱ; eⁱ = e^{i ¢}. Здесь – матрица перехода eⁱ от к e^{i ¢}; – матрица перехода от eⁱ к e^{i ¢}; т.е.матрицы и взаимно-обратны.

T°. = и (следовательно = ).

◀ .Положим k = i, k ¢ = i ¢ Þ , т.е. матрицы и совпадают ▶

Примечание: Правило нахождения матрицы

= .

Итак: – формулы преобразования базисных векторов. Здесь матрица перехода от базиса { e_i } к базису { e_{i ¢}}.

Таким образом для перехода от базиса { e_i, eⁱ } к базису { e_{i ¢}, e^{i ¢}} достаточно знать лишь матрицу перехода от базиса { e_i } к базису { e_{i ¢}}.

Задача. Имеется две пары взаимных базисов { e ₁, e ₂, e ₃, e ¹, e ², e ³} и { e ₁, e ₂, e ₃, e ^1¢, e ^2¢, e ^3¢}. Записать формулы для преобразования при переходе от одного базиса к другому и найти соответствующие матрицы перехода.

◀ Формулы преобразования базисных векторов:

1) , – матрица перехода от e_i к e_{i ¢}; i ¢ – строки, i – столбцы(строки слева) .

2) , – матрица перехода от e_{i ¢} к e_i; i – строки, i ¢ – столбцы (строки слева) ,

при этом В ₂ = (В ₁)^–1.

3) , – матрица перехода от eⁱ к e^{i ¢}; i ¢– строки, i – столбцы (строки слева) ,

при этом В ₃ = (В ₁₂) ^Т.

4) , – матрица перехода от e^{i ¢}к eⁱ; i – строки, i ¢ – столбца (строки слева) ,

при этом В ₄ = (В ₁) ^Т.

5) Элементы матрицы В ₁ = () находят так ▶

Пример: Пусть е ₁(1, 1, 0) е _1¢(1, 0, 0)

е ₂(1, 0, 1) е _2¢(–1, 1, 0)

е ₃(0, 1, 1) е _3¢(0, –1, 1)

е ¹(1/2, 1/2, –1/2) «е ^1¢(1, 1, 1).

е ²(1/2, –1/2, 1/2) е ^2¢(0, 1, 1)

е ³(–1/2, 1/2, 1/2) е ^3¢(0, 0, 1)

Строим матрицу . Имеем ;

. Чтобы проверить формулу 1) мы должны матрицу В ₁ умножить на матрицу у которой в строках стоят e_i – получим матрицу у которой в строках e_{i ¢}, аналогично проверяются формулы 2), 3), 4).

1) ;

2) ;

3) ;

4) ▶

Информация к размышлению:

Та же задача: В базисе, в котором заданы координаты всех векторов, построить матрицу перехода от базиса { e_i } к базису { e_{i ¢}} (а также от базиса { eⁱ } к базису { e^{i ¢}}).

◀ а) пусть P_{S ® e} – матрица перехода из стандартного базиса в базис { е_i }, т.е. для построения матрицы P_{S ® e} координаты векторов e_i пишутся в столбцы;

б) P_{е ® S} = (P_{S ® e} )^–1;

в) P_{S ® e ¢} – матрица перехода из стандартного базиса в базис { e_{i ¢}};

г) P_{е ® e ¢} = (P_{S ® e ¢})(P_{S ® e})^–1 ▶

Примеры:

1°. е ₁(1, 1, 0) е _1¢(1, 0, 0)

е ₂(1, 0, 1) е _2¢(–1, 1, 0)

е ₃(0, 1, 1) е _3¢(0, –1, 1).

Тогда . Получаем .

При этом . И при этом: если обозначить Р ₁ = P_{е ® e ¢}, Р ₂ = P_{е ¢® e} , то: Р ₁ e ₁ = e _1¢; Р ₁ e ₂ = e _2¢; Р ₁ e ₃ = e _3¢; Р ₂ e _1¢ = e ₁; Р ₂ e _2¢ = e ₂; Р ₂ e _3¢ = e ₃.

2°. е ¹(1/2, 1/2, –1/2) е ^1¢(1, 1, 1)

е ²(1/2, –1/2, 1/2) е ^2¢(0, 1, 1)

е ³(–1/2, 1/2, 1/2) е ^3¢(0, 0, 1).

Построение: ;

и кроме того: . Если обозначить P^{е ® e ¢}= Р ₃, P^{е ¢® e} = Р ₄, то Р ₃ e ¹ = e ^1¢; Р ₃ e ² = e ^2¢; Р ₃ e ³ = e ^3¢; Р ₄ e ^1¢ = e ¹; Р ₄ e ^2¢ = e ²; Р ₄ e ^3¢ = e ³. Для Р ₁, Р ₂, Р ₃, Р ₄ справедливы те же соотношения, что и для В ₁, В ₂, В ₃, В ₄:

В ₁; В ₂ = ; В ₃ = ; В ₄ = ;

Р ₁; Р ₂ = ; Р ₃ = ; Р ₄ = .

Вопрос: Почему же В ₁ и Р ₁ (а также остальные) матрицы различны? Правда, они симметричны относительно второй большой диагонали?

Попробуйте ответить на этот вопрос прежде чем вы прочитаете последующие две строчки.

Ответ: Матрицы и матрицы Р ₁ это одна и та же матрица перехода но Р ₁ в стандартном базисе, а в базисе { e_i }.

Пусть x Î E_n. Пусть в базисе { e_{i ¢}, e^{i ¢}} x = x_{i ¢} eⁱ т.е. x_{i ¢} ковариантные координаты вектора x.

x_{i ¢} = (x,e_{i ¢}) = (x,e_i) = x_i, т.е. x_{i ¢} = x_i.

При переходе к новому базису ковариантные координаты вектора x преобразуются с помощью матрицы перехода от базиса { e_i } к базису { e^{i ¢}} (т.е. так же как координаты базисных векторов). Этим и обусловлено название – ковариантные (согласованные).

Кроме того: x^{i ¢} = (x,e^{i ¢}) = (x,eⁱ) = xⁱ.

При переходе к новому базису контравариантные координаты вектора x преобразуются с помощью матрицы перехода от базиса нового к старому. Это несогласование преобразований и обусловило название контравариантные (несогласованные) координаты.

Задача. Вектор х (5, 2, 1) в базисе { e ₁(1, 1, 0), e ₂(0, 1, 1), e ₃(0, 1, 1), e ¹(1/2, 1/2, 1/2), e ²(1/2, –1/2, 1/2), e ³(–1/2, 1/2, 1/2)} имеет ковариантные координаты (7, 6, 3) и контравариантные координаты (3, 2, –1). Это было установлено при решении задач в предыдущем параграфе. Найти ковариантные и контравариантные координаты этого же вектора в базисе { e _1¢(1, 0, 0), e _2¢(–1, 1, 0), e _3¢(0, –1, 1), e ^1¢(1, 1, 1), e ^2¢(0, 1, 1), e ^3¢(0, 0, 1)}.

◀ Как известно, ковариантные и контравариантные координаты вектора х преобразуются по-разному: с помощью формул: x_{i ¢} = x_i и x^{i ¢} = x_i, тогда x_{i ¢} = x_i Þ , т.е. х ¢ = 5 е ^1¢ – 3 е ^2¢ – е ³¢ (это х (5, 2, 1)). Итак (7, 6, 3) ® (5, –3, –1) для ковариантных координат.

Далее: , т.е. х ¢ = 8 е _1¢ + 3 е _2¢ + е _3¢ (это х (5, 2, 1)). Итак (3, 2, –1) ® (8, 3, 1) для контравариантных координат.

Здесь матрицы перехода взяты из предыдущей задачи. ▶