Примеры. 1°. Найти базис, взаимный к базису: е1(1, 1, 0), е2(1, 0, 1), е3(0, 1, 1)

1°. Найти базис, взаимный к базису: е ₁(1, 1, 0), е ₂(1, 0, 1), е ₃(0, 1, 1).

◀ а) Строим матрицу: . Получаем: ;

.

б) Составляем матрицу ;

в) и находим: .

г) Строки полученной матрицы F_B и есть векторы взаимного базиса, т.е.

е ¹(1/2, 1/2, –1/2), е ²(1/2, –1/2, 1/2), е ³(–1/2, 1/2, 1/2) ▶

2°. Найдем базис взаимный к базису: е ¹(1, 1, 1), е ²(0, 1, 1), е ³(0, 0, 1).

◀ Строим матрицу: , т.е. ; . Находим .

Таким образом найдены векторы взаимного базиса: е ₁(1, 0, 0), е ₂(–1, 1, 0), е ₃(0, –1, 1) ▶

Задача 2. Вектор х (5, 2, 1) задан своими координатами в том же базисе, в котором заданы векторы двух взаимных базисов: е ₁(1, 1, 0), е ₂(1, 0, 1), е ₃(0, 1, 1) и е ¹(1/2, 1/2, –1/2), е ²(1/2, –1/2, 1/2), е ³(–1/2, 1/2, 1/2). Найти ковариантные и контравариантные координаты вектора х в базисе { e ₁, e ₂, e ₃, e ¹, e ², e ³}.

◀ Вектор x = (xe_i) eⁱ = 7 e ¹ + 6 e ² + 3 e ³ поэтому (х ₁, х ₂, х ₃) = (7, 6, 3) – ковариантные координаты х.

Вектор x = (xeⁱ) e_i = 3 e ₁ + 2 e ₂ – e ₃, следовательно (х ¹, х ², х ³) = (3, 2, –1) – контравариантные координаты х ▶