2015-05-05
726
ПО КУРСУ "ВЫСШАЯ АЛГЕБРА". Часть II
1. Найти матрицу A * оператора сопряженного к линейному оператору A по заданной матрице оператора A и матрице Грамма Г:
а) 
: 
; б) 
: 
.
2. Найти матрицу A * оператора сопряженного к линейному оператору A по заданной матрице оператора A и скалярному произведению:
а) 
, 
;
б) 
, 
;
в) 
, 
.
3. Оператор 
переводит векторы a 1, a 2, в векторы b 1, b 2, соответственно. Найти оператор A *, если базис в котором заданы 
, 
- ортонормирован:
а) 
; 
;
б) 
; 
.
4. Оператор 
задан матрицей в базисе f 1, f 2, где f 1 = e 1 + e 2, f 2 = e 1 – ie 2. Найти A * в том же базисе.
5. Оператор 
задан матрицей в базисе 
, где 
. Найти 
в том же базисе.
6. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением 
(здесь 
и 
коэффициенты полиномов p и q при 
) задан оператор 
. Найти 
в следующих базисах:
а) 
; б) 
.
7. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением 
задан оператор . Найти в следующих базисах: а) ; б) .
8. Пусть в унитарном пространстве дифференцируемых и периодичных с периодом 
функций, скалярное произведение имеет вид: 
. Доказать, что оператор 
- эрмитов.
9. Установить является ли оператор 
самосопряженным, если оператор задан матрицей в базисе с матрицей Грамма 
:
а) 
; б) 
;
в) 
.
10. Оператор задан матрицей 
в базисе с матрицей Грамма 
. Будет ли оператор - эрмитовым?
11. Установить, является ли ортогональным оператор , действующий на векторы ортонормированного базиса по формулам:
а) 
; б) 
.
12. Установить, является ли оператор унитарным, если действует на векторы ортонормированного базиса по формулам:
.
13. Установить, является ли ортогональным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе матрицей:
.
14. Установить, является ли ортогональным оператор , если он задан матрицей в базисе 
, а векторы 
выражаются через векторы ортонормированного базиса 
:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
15. Построить собственный ортонормированный базис самосопряженного оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:
а) 
; б) 
.
16. Построить собственный ортонормированный базис эрмитового оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:
а) 
; б) 
; в) 
.
17. Построить собственный ортонормированный базис унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:
а) 
; б) 
; в) 
.
18. Привести матрицу 
к диагональному виду.
19. Найти:
а) 
, 
; б) 
, 
; в) 
, 
;
г) , 
; д) , 
; е) , 
.
20. Установить, являются ли следующие квадратичные формы положительно определенными:
а) 
;
б) 
.
21. Установить, при каких 
следующие квадратичные формы являются положительно определенными:
а) 
;
б) 
.
22. Найти ортонормированный базис, в котором следующие квадратичные формы (заданные тоже в ортонормированном базисе) имеют диагональный вид:
а) 
;
б) 
.
23. Привести следующие квадратичные формы к нормальному виду:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
24. С помощью одного преобразования привести пару форм к каноническому виду:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
.
25. Найти базис, взаимный к данному:
а) 
;
б) 
.
26. Вектор 
задан своими координатами в том же базисе, в котором заданы координаты векторов двух взаимных базисов: 
и 
. Найти ковариантные и контравариантные координаты вектора 
.
27. Доказать инвариантность свойства антисимметрии тензора второго ранга 
.
28. Используя тензорную форму записи проверить тождества:
а) 
;
б) 
.
29. Используя тензорную форму записи, вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
(здесь 
- постоянные векторы, 
- радиус вектор).
30. Используя тензорную форму записи, доказать тождества:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
(здесь 
- векторные поля, 
- скалярное поле).
31. Вычислить (используя интегральные теоремы тензорного исчисления) 
, где 
- постоянные векторы, 
- орт нормали к поверхности 
, которая ограничивает объем 
.
32. Найти результат действия перестановок:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
32. Возвести перестановки в степень:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
33. Найти перестановку, обратную перестановке: 
.
34. Найти 
.
35. Найти:
а) 
; б) 
36. Если 
группа перестановок 
чисел, то найти все подгруппы 
.
37. Построить смежные классы к 
в 
, где и - группы корней 3-й и 6-й степени из 1, соответственно.
38. Построить смежные классы к 
в 
, где и - группы корней 4-й и 8-й степени из 1, соответственно.
39. Доказать, что - нормальный делитель группы , где и - группы корней 3-й и 6-й степени из 1, соответственно.
40. Доказать, что - нормальный делитель группы , где и - группы корней 4-й и 8-й степени из 1, соответственно.
41. Найти все гомоморфизмы в , где 
группа корней n -й степени из 1.
42. Найти фактор-группу 
, если:
а) 
- группа целых чисел, 
- подгруппа чисел, кратных заданному целому
числу 
;
б) - группа всех вещественных чисел по сложению, - подгруппа целых
чисел;
в) - группа всех комплексных чисел по сложению, - группа веществен-
ных чисел тоже по сложению;
г) - группа ненулевых комплексных чисел по умножению, - группа
положительных вещественных чисел по умножению;
д) - группа ненулевых комплексных чисел по умножению, - подгруппа
чисел по модулю равных 1.
43. Найти нормальную жорданову форму матрицы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
