Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)– непрерывная неопр. функция, xÎ[a;b].

Доказать: S = F(b) – F(a), где F(x) – первообразная f(x).

Доказательство:

1) Рассмотрим вспомогательную функцию S(x). Каждому xÎ[a;b] поставим в соответствие ту часть криволинейной трапеции, которая лежит левее прямой, проходящей через точку с этой абциссой и параллельно оси ординат. Следовательно S(a)=0 и S(b)=Sтр

Докажем, что S(a) – первообразная f(x).

D(f) = D(S) = [a;b]

S’(x0)= lim(S(x0+Dx) – S(x0) / Dx), при Dx®0 DS – прямоугольник

Dx®0 со сторонами Dx и f(x0)

S’(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): т.к. x0 точка, то S(x) –

Dx®0 Dx®0 первообразная f(x).

Следовательно по теореме об общем виде первообразной S(x)=F(x)+C.

Т.к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

C = –Fa

S = S(b)=F(b)+C = F(b)–F(a)

II.

1). Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Шаг разбиения Dx=(b–a)/n. При этом Sтр=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx= n®¥ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn)) При n®¥ получим, что Sтр= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

Предел этой суммы называют определенным интегралом.

Sтр=ò f(x)dx

Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке [a;b] при n®¥. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

a — нижний предел интегрирования;

b — верхний.

Формула Ньютона–Лейбница.

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:

если F – первообразная для b на [a;b], то

ò f(x)dx = F(b)–F(a)

b b

ò f(x)dx = F(x) ô = F(b) – F(a)

a a

Свойства определенного интеграла.

b b

ò f(x)dx = ò f(z)dz

a a

ò f(x)dx = 0

ò f(x)dx = F(a) – F(a) = 0

b a

ò f(x)dx = – ò f(x)dx

a b

b a

ò f(x)dx = F(a) – F(b) ò f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))

a b

Если a, b и c любые точки промежутка I, на котором непрерывная функция f(x) имеет первообразную, то

b c b

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx

a a c

F(b) – F(a) = F(c) – F(a) + F(b) – F(c) = F(b) – F(a)

(это свойство аддитивности определенного интеграла)

Если l и m постоянные величины, то

b b b

ò (lf(x) +m j(x))dx = l ò f(x)dx + m òj(x))dx –

a a c

– это свойство линейности определенного интеграла.

b b b b

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

a a a a

ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) –

– (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C =

= F(b)–F(a)+C1 +G(b)–G(a)+C2+...+H(b)–H(a)+Cn=

b b b

= ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx

a a a

Набор стандартных картинок

	Т.к. f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)³0. Надо: рассмотреть симметрию функции относительно оси OX. ABCD®A’B’CD b S(ABCD)=S(A’B’CD) = ò –f(x)dx a
	b b S= ò f(x)dx = ò g(x)dx a a

c b S = ò (f(x)–g(x))dx+ò(g(x)–f(x))dx a c

f(x)® f(x)+m g(x)®g(x)+m b S= ò (f(x)+m–g(x)–m)dx = a b = ò (f(x)– g(x))dx a Если на отрезке [a;b] f(x)³g(x), то площадь между этими графиками равна b ò ((f(x)–g(x))dx a