Скалярное произведение сигналов

Понятие скалярного произведения элементов x(t) и y(t) линейного пространства позволяет определять угол между двумя векторами (сигналами).

Пусть в обычном трехмерном пространстве известны два вектора и (рис.2.3). Тогда квадрат модуля их суммы имеет вид

По аналогии с векторной алгеброй найдем энергию суммы двух сигналов x(t) и y(t):

. (2.3.2)

В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны. Здесь энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию

.

Сравнение (2.3.1) и (2.3.2) дает определение скалярного произведения вещественных сигналов x и y в пространстве L²:

.

Косинус угла между сигналами x и y:

.

При этом справедливо фундаментальное неравенство Коши - Буняковского

.

Таким образом, для линейного вещественного пространства скалярное произведение функций x(t) и y(t) имеет вид

и норма, выраженная через скалярное произведение, будет

.

Скалярное произведение комплексных сигналов x(t) и y(t) в гильбертовом комплексном пространстве L² определяется по формуле

,

причем .