Непериодические сигналы

Спектральное представление можно обобщить на случай, когда функция x(t) непериодическая, T®¥. На основании (2.4.2) и (2.4.3), учитывая 1/T=w₁/2p, имеем

.

При T®¥ сумма переходит в интеграл, величина , а , где w - текущая непрерывная частота. Тогда получим:

или , (2.4.6)

где . (2.4.7)

Формулы (2.4.7) и (2.4.6) определяют соответственно прямое и обратное преобразование Фурье. В них Ф и Ф^-1 - обозначение прямого и обратного операторов Фурье.

Формулы (2.4.7) и (2.4.6) - пара интегральных преобразований Фурье. Функция F(jw) называется спектральной функцией или комплексным спектром непериодического сигнала. Она определена при положительных и отрицательных частотах.

Значения спектральной функции при положительных и отрицательных значениях частоты w комплексно сопряжены. Поэтому (2.4.6) можно записать в виде

,

где Re - обозначение взятия действительной части.

Интеграл Фурье (2.4.7) представляет непериодическую функцию в виде суммы бесконечного числа бесконечно малых по амплитуде и бесконечно близких по частоте гармонических колебаний . Поэтому непериодическая функция имеет непрерывный, т. е. сплошной, спектр. Другими словами, в непериодической функции имеются все частоты.

Согласно (2.4.6), комплексная амплитуда элементарного колебания равна

.

Отсюда следует

,

т. е. спектральная функция характеризует не амплитуду, а спектральную плотность амплитуд.

Спектральную функцию можно представить в виде

где - спектр амплитуд (тоже характеризует не амплитуду, а спектральную плотность амплитуд);

- спектр фаз.

2.4.3. Связь преобразований Фурье

Сравнение (2.4.1) и (2.4.2) дает:

.

Сравнение (2.4.2) и (2.4.7) позволяет записать:

и .

Сравнение (2.4.4) и (2.4.7) дает:

и .

Отсюда следует, что для сигналов одинаковой формы дискретная функция вписывается в непрерывную функцию

которую называют огибающей дискретного спектра периодического сигнала. .