Интеграл Дюамеля. Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимиро­вать приложенное воздействие f1(t) с помощью единичных функ­ций

Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимиро­вать приложенное воздействие f ₁(t) с помощью единичных функ­ций, сдвинутых относительно друг друга на время Dt (рис. 1.1).

Реакция цепи на каждое ступенчатое воздействие определится как

Результирующая реакция цепи на систему ступенчатых воздей­ствий найдется, исходя из принципа наложения:

где п — число аппроксимирующих участков, на которые разбит ин­тервал 0... t. Домножив и разделив выражение, стоящее под зна­ком суммы, на Dt и перейдя к пределу с учетом того получим одну из форм интеграла Дюамеля:

Уравнение отражает реакцию цепи на заданное воздействие, поскольку аппроксимирующая функция стремится к ис­ходной.

Вторая форма интеграла Дюамеля может быть получена с по­мощью теоремы свертки:

Наконец, интегрируя по частям выражения, стоящие в уравне­ниях, получаем третью и четвертую формы интеграла Дюамеля:

Применение той или иной формы интеграла Дюамеля диктуется удобством и простотой вычисления подынтегральных выражений.