Интеграл наложения

При нахождении реакции цепи с помощью интеграла наложе­ния используется импульсная характеристика цепи h (t). Для по­лучения общего выражения интеграла наложения аппроксимируем входной сигнал f ₁(t) с помощью системы единичных импульсов длительности d t, амплитуды f ₁(t) и площади f ₁(t) d t. Выходная реакция цепи на каждый из единичных импульсов

Используя принцип наложения, нетрудно по лучить суммарную реакцию цепи на систему единичных импульсов:

Интеграл носит название интеграла наложения. Между интегралами наложения и Дюамеля существует простая связь, определяемая связью между импульсной h (t)и переход­ной g (t) характеристиками цепи. Подставив, например, значе­ние h (t) в формулу с учетом фильтрующего свой­ства d-функции, получим интеграл Дюамеля в форме.

Интегралы наложения представляютсобойсвертку входного сигнала с импульсной характеристикой цепи и широко применяются в теории электрических цепей и теории пере­дачи сигналов. Ее физический смысл заключается в том, что вход ной сигнал f ₁(t) как бы взвешивается с помощью функции h (t— t): чем медленнее убывает со временем h (t), тем большее влияние на выходной сигнал оказывает более удаленные от момента наблю­дения значение входного воздействия.

На рис. 1.3, а показан сигнал f ₁(t) и импульсная характери­стика h (t— t), являющаяся зеркальным отображением h (t), а на рис. 1.3, б приведена свертка сигнала f ₁(t) с функцией h (t— t) (за­штрихованная часть), численно равная реакции цепи в момент t.

Из рис. 1.3 видно, что отклик на выходе цепи не может быть короче суммарной длительности сигнала t ₁и импульсной харак­теристики t_h. Таким образом, для того чтобы выходной сигнал не искажался, импульсная характеристика цепи должна стремиться к d-функции.

Очевидно также, что в физически реализуемой цепи реакция не может возникнуть раньше воздействия. А это означает, что им­пульсная характеристика физически реализуемой цепи должна удовлетворять условию

Для физически реализуемой устойчивой цепи кроме того должно выполняться условие абсолютной интегрируемости импульсной характеристики:

Если входное воздействие имеет сложную форму или задается графически, то для вычисления реакции цепи вместо интеграла свертки применяют графоаналитические способы.