Система уравнений движения

или

где l – собственные числа, связанные с собственными w частотами зависимостью .

Упрощаем систему, умножая на и вводя обозначение :

(1)

Это однородная система линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд A ₁, A ₂, A ₃. Она имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю, т. е.

. (2)

4 Характеристическое уравнение и его решение. Раскрыв определитель (2), получаем характеристическое уравнение

Решая это уравнение (например, на ЭВМ), находим корни:

; ; .

(Корни нумеруем так, чтобы выполнялось условие L ₁ > L ₂ > L ₃).

5 Частоты колебаний. Частоты собственных колебаний . С учетом обозначения L, введенного в (1), получаем

; ;

;

(Частоты должны быть пронумерованы так, чтобы w₁ < w₂ < w₃).

6 Формы колебаний. Первая форма колебаний соответствует частоте , . В системе (1) к величинам L, A ₁, A ₂, A ₃ добавляем индекс «1»:

(3)

Задаемся значением А ₁₁ = 1. Подставляем А ₁₁и L ₁ в (3). Неизвестны всего две амплитуды А ₂₁ и А ₃₁, для определения которых можно использовать любые два уравнения системы (3), например, первое и второе:

; .

Вторая форма колебаний соответствует , . В системе (1) к L, A ₁, A ₂, A ₃ добавляем индекс «2»:

(4)

Задаемся значением А ₂₂ = 1. Подставляем А ₂₂и L ₂ в (4). Неизвестны всего две амплитуды А ₁₂ и А ₃₂, для определения которых можно использовать любые два уравнения системы (4), например, первое и второе:

; .

Третья форма колебаний соответствует , . В системе (1) к L, A ₁, A ₂, A ₃ добавляем индекс «3»:

(5)

Задаемся значением А ₃₃ = 1. Подставляем А ₃₃и L ₃ в (5). Неизвестны всего две амплитуды А ₁₃ и А ₂₃, для определения которых можно использовать любые два уравнения системы (5), например, первое и второе:

; .

Смысл найденных величин: А_km (k, m = 1, 2, 3) – амплитудное значение перемещения y_k при колебаниях с частотой w _m.

Показываем формы колебаний (рисунок 3). Положительные амплитуды откладываем в направлениях, совпадающих с направлениями перемещений y на рисунке 1, отрицательные – противоположно.

Рисунок 3

7 Проверка ортогональности форм колебаний. Для рассматриваемой системы с тремя степенями свободы, у которой массы точечных грузов одинаковы, должны выполняться условия

;