Система уравнений движения. где l – собственные числа

или

где l – собственные числа.

Упрощаем систему, умножая на и вводя обозначение :

(1)

Это однородная система линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд A ₁, A ₂. Она имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю, т. е.

. (2)

Характеристическое уравнение и его решение. Раскрывая определитель (2), получаем характеристическое уравнение

;

или

.

Дискриминант , корни :

; .

(Корни нумеруем так, чтобы выполнялось условие L ₁ > L ₂).

Частоты колебаний. Собственные числа и частоты собственных колебаний связаны соотношением . С учетом обозначения L, введенного в (1), получаем

; ;

.

(Частоты должны быть пронумерованы так, чтобы w₁ < w₂).

Формы колебаний. Первая форма колебаний соответствует частоте , . В системе (1) к L, A ₁, A ₂ добавляем индекс «1»:

(3)

Задаемся значением А ₁₁ = 1. Подставляем А ₁₁ и L ₁ в (3). Неизвестна всего одна амплитуда А ₂₁, для определения которой можно использовать любое уравнение системы (3), например, первое:

; .

А ₁₁ – амплитудное значение перемещения y ₁ при колебаниях с частотой w₁; А ₂₁ – амплитудное значение перемещения y ₂ при колебаниях с частотой w₁.

Вторая форма колебаний соответствует , . В системе (1) к L, A ₁, A ₂ добавляем индекс «2»:

(4)

Задаемся значением А ₂₂ = 1. Подставляем А ₂₂ и L ₂ в (4). Неизвестна всего одна амплитуда А ₁₂, для определения которой используем второе уравнение системы (4):

; .

А ₁₂ – амплитудное значение перемещения y ₁ при колебаниях с частотой w₂; А ₂₂ – амплитудное значение перемещения y ₂ при колебаниях с частотой w₂.

Показываем формы колебаний (рисунок 3). Положительные амплитуды откладываем в направлениях, совпадающих с направлениями перемещений y на рисунке 1, отрицательные – противоположно.

Рисунок 3

Проверка ортогональности форм колебаний. Для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы, у которой массы точечных грузов одинаковы, должно выполняться условие

.

Подставляя значения амплитуд, получим

.

Проверка выполняется.

þ Пример Расчета системы с тремя степенями свободы

на свободные колебания Для заданной системы (рисунок 1) требуется: определить частоты и амплитуды собственных колебаний, показать формы колебаний. Исходные данные: масса каждого из точечных грузов m = 2800 кг; длины участков a = 2,2 м, жесткость стержней системы EJ = 6 ∙ 106 Н ∙ м2.

Рисунок 1

1 Число степеней свободы. Движение из плоскости чертежа считаем невозможным. Вращением грузов пренебрегаем. В соответствии с гипотезой о малости перемещений грузы могут смещаться по перпендикуляру к недеформированной оси рамы. Система обладает тремя степенями свободы, так как перемещения грузов можно полностью описать тремя независимыми величинами y ₁(t), y ₂(t), y ₃(t) (см. рисунок 1).

2 Определение единичных перемещений. В направлении y ₁(t) прикладываем единичную силу и строим эпюру Аналогично строим эпюры и (рисунок 2).

Рисунок 2

Для вычисления перемещений используем формулу Мора:

(k, m = 1, 2, 3),

где δ _km – перемещение по направлению y_k от действия единичного усилия, приложенного по направлению y_m; в соответствии с теоремой Максвелла δ _mk = δ _km.

Перемножив соответствующие единичные эпюры, получим:

; ; ;

; ; .