Особенности анализа радиосигналов в избирательных цепях

При решении задач о прохождении сигналов через электрические цепи основное внимание уделяют изменениям информационных параметров сигналов, поскольку это связано с проблемой сохранения информации, переносимой сигналами. В случаях, когда информация заложена непосредственно в форме сигнала (случай простых сигналов) задача сохранения информации сводится к задаче сохранения формы (или спектра) сигнала.

Иначе дело обстоит с радиосигналом, в котором информация заключена в одном из нескольких параметров высокочастотного колебания. Не обязательно сохранять полностью структуру этого колебания; достаточно лишь сохранить закон изменения того параметра, в котором заключена информация. Так, в случае амплитудно-модулированного колебания, важно передать огибающую амплитуд, а некоторое изменение частоты или несущее колебание, не имеющее существенного значения, при анализе можно не учитывать. При передаче радиосигналов с угловой модуляцией, наоборот, основное внимание следует уделить точному воспроизведению закона изменения частоты и фазы, а изменением амплитуды можно пренебречь.

Эти особенности радиосигналов открывают путь к некоторому упрощению методов анализа их передачи через линейные цепи. Возможность упрощения особенно существенна, когда радиосигнал представляет собой узкополосный процесс, а цепь - узкополосную систему. Это как раз и характерно для реальных радиосигналов и реальных радиоцепей.

а) Приближенный спектральный метод. Пусть цепь представляет собой избирательную систему, передаточная функция которой имеет максимум вблизи частот w_p и (-w_p). И пусть на ее входе действует высокочастотное модулированное колебание S(t) спектральная характеристика которого имеет два максимума вблизи частот w₀ и (-w₀). В общем случае резонансная частота цепи w_p не совпадает с центральной частотой сигнала w₀, т.е. имеет место расстройка

Dw=w₀-w_p (20)

которая является величиной того же порядка, что и полоса пропускания цепи.

Составим выражение для сигнала на выходе цепи. Если входной сигнал имеет гармоническое заполнение, т.е. S(t)=A(t)cos( w₀ t+q(t)), то выкладки значительно упрощаются при использовании понятия аналитического сигнала:

(21)

Спектральная функция этого сигнала существует только в области положительных частот, поэтому при определении аналитического сигнала на выходе цепи следует исходить из выражения:

(22)

Спектральные функции высокочастотного модулированного колебания и аналитического сигнала при w> 0 связаны соотношением , причем при w> 0 , где ‑спектральная функция огибающей.

Следовательно .

Подставляя это выражение в (22), получаем

(23)

Введем переменную W­­=w-w₀. Тогда

(24)

Из сопоставления (24) с (21) видно, что выражение, стоящее в фигурных скобках соответствует комплексной огибающей выходного колебания:

Дальнейшее упрощение анализа вытекает из свойств передаточной функции резонансных цепей, обладающих сильно выраженной частотной избирательностью: Модуль коэффициента передачи быстро убывает при удалении w от резонансной частоты. Поэтому передаточную функцию целесообразно выражать в виде функции расстройки частоты w относительно резонансной частоты w_p:

(26)

где постоянный параметр расстройки Dw=w₀-w_p. Т.к. при W=-w₀ , нижний предел интегрирования в (25) можно заменить на -¥. При этом оно принимает вид:

(27)

Это выражение ничем не отличается от обычного интеграла Фурье, определяющего оригинал по заданной спектральной плотности огибающей и передаточной функции .

Заменив jW на p, получим выражение в форме обратного преобразования Лапласа:

(28)

Таким образом, анализ передачи узкополосного высокочастотного колебания через избирательную цепь по существу сводится к анализу изменений, претерпеваемых комплексной огибающей входного сигнала. После нахождения A_вых(t) и q_вых(t) для выходного аналитического сигнала можно будет написать следующее выражение:

Z_вых(t)=A_выхe^{j[w0t+qвых(t)]} (29)

откуда S_вых(t)=A_вых(t)cos[w₀t+q_вых(t)] (30)

Вычисления, связанные с определением по формуле (28), значительно проще, чем при непосредственном определении S_вых(t) с помощью обратного преобразования Лапласа, так как переход от к и от к сокращает число особых точек подинтегральной функции.

б) Упрощенный метод интеграла наложения. (Метод огибающей).

Упрощение спектрального метода было достигнуто упрощением передаточной функции избирательной цепи . Аналогично метод интеграла наложения можно упростить укорочением импульсной характеристики h(t), тесно связанной с передаточной функцией .

Основываясь на общем выражении

и переходя к аналитической функции Z_h(t), соответствующей физической функции h(t), находим

(31)

Заменим переменную w=w₀+W. Тогда с учетом формулы (26) и после замены нижнего предела -w₀ на -¥ получим

С другой стороны, представив искомую импульсную характеристику в виде узкополосной функции

h(t)=H(t)cos[w₀t+gh(t)]

имеем:

Z_h(t)=H(t)e^j[w0t+gh(t)]=H(t)e^jgh(t)e^jw0t= (33)

Из сравнения (32) и (33) непосредственно вытекает равенство, определяющее комплексную огибающую импульсной характеристики h(t):

(34)

Применение этого выражения упрощает вычисление импульсной характеристики h(t).

Обратимся теперь к (27). Используя правило, согласно которому произведению двух спектров соответствует функция времени S(t), являющаяся сверткой функций f(t) и g(t):

, (35)

где y - временной интервал, в течении которого одновременно существуют функции f(t) и g(t), из (27) можем определить в виде свертки двух функций времени, соответствующих спектральным функциям и . Первой из этих функций соответствует , а второй, как это следует из (34) - . Следовательно

(36)

Это выражение является общим, пригодным для любых избирательных цепей и любых узкополосных сигналов. В тех случаях, когда свободные колебания характеризуются постоянной частотой заполнения, как, например, в одиночном колебательном контуре, g_h(t) вырождается в постоянную фазу и выражение (36) существенно упрощается. То же самое относится и к сигналам с немодулированной частотой заполнения, когда q(t) обращается в постоянную величину.

Метод интеграла наложения эффективен в тех случаях, когда временные характеристики сигналов или цепей (или тех и других) оказываются более простыми, чем спектральные. Такое положение имеет место, например, при анализе прохождения ЧМ сигналов.

Л 14.