Пусть на вход линейной стационарной цепи подан сигнал Sвх(t). На основании определений дельта-функции и ее фильтрующего свойства входной сигнал может быть представлен в виде интеграла
Sвх(t)= (10)
поскольку он является предельным выражением суммы, которой входной сигнал представляется как бесконечная последовательность дельта- импульсов, смешенных друг относительно друга на время t. Амплитуда импульсов равна значению сигнала в те же моменты времени t (см. рис.)
Такой метод аналитического моделирования сигналов называется ме- тодом интеграла наложения (на последовательность пробных импульсов накладывается информац. сигнал).
Если установить реакцию цепи на отдельный дельта-импульс, то в силу линейности и стационарности цепи можно просуммировать отдельные реакции и получить выходной отклик на любое входное воздействие. Поэтому вводят импульсную характеристику цепи h(t), являющуюся выходным откликом на входной дельта-импульс. Таким образом, выходная реакция Sвых(t) на произвольное входное воздействие может быть представлена интегралом
|
|
Sвых(t)= (11)
Из (11) следует, что сигнал на выходе цепи Sвых(t) в момент t получается суммированием мгновенных значений входного сигнала Sвх(t) с весом h(t-t) за все предыдущее время с начала сигнала. Импульсная характеристика и метод интеграла наложения являются основными понятиями при исследовании прохождения сигналов через линейные цепи методом интеграла наложения.
Соотношение (11) может быть записано также в виде
Sвых(t)= (12)
Представим входной сигнал в виде интеграла Фурье
Sвх(t)=
Если сделать подстановку t=t ’ -t (а потом отбросить штрих у t), то можно записать, что
Sвх(t-t)=
Подставив это выражение в (12) и изменив порядок интегрирования, получим
(13)
Внутренний интеграл является комплексной функцией частоты. Обозначим его как
® (14)
является прямым преобразованием Фурье для импульсной функции цепи. Его функции называют частотным коэффициентом передачи цепи (или комплексной частотной характеристикой).
Частотному коэффициенту передачи можно дать и другие эквивалентные толкования. Одно из них получается в результате подстановки (14) в (13):
Sвых(t)= (15)
Как видно, полученное выражение совпадает с обратным преобразованием Фурье для спектра выходного сигнала, поскольку
ВЫХ(w), (16)
или, другими словами, частотный коэффициент передачи есть множитель пропорциональности между спектральными плотностями входного и выходного сигналов. Отсюда возникло название метода анализа прохождения сигналов через линейные цепи, основанного на использовании частотного коэффициента передачи, как спектрального метода.
|
|
Практически частотный коэффициент передачи удобнее вычислять пользуясь другим его определением. Для этого рассмотрим в качестве входного сигнала гармоническое колебание в комплексной форме: SВХ(t)= . Гармоническое колебание, сдвинутое во времени SBX(t-t)= . Подставив это выражение в (12), выносят из под интеграла функции, не зависящие от переменной интегрирования и перегруппировав члены, получим:
SВХ(t)= .
Здесь интеграл есть частотный коэффициент передачи. Таким образом, ВЫХm , откуда
(17)
и, следовательно, коэффициент передачи равен отношению комплексных амплитуд гармонических колебаний на выходе и входе линейной цепи. Частотный коэффициент передачи обычно записывают в показательной форме
(18)
где K(w)=| | - амплитудно-частотная характеристика цепи (АЧХ) j(w)=jвых-jвх - фазочастотная характеристика цепи (ФЧХ).
Из соотношения (12) следует еще один метод практического определения импульсной характеристики h(t):
(19)
где t - время анализа, - скорость изменения выходного сигнала в течении времени анализа t, - значения входного сигнала в течении времени анализа t.
Таким образом, импульсная характеристика характеризует скорость изменения выходного сигнала за время анализа по отношению к мгновенным значениям входного сигнала в течении этого же интервала времени. Для ее определения достаточно знать форму входного и выходного сигналов за время действия пробного сигнала. Отсюда понятно и введение понятия пробного сигнала.
Л 13.