Структурная схема построения рекурсивного ЦФ

Взяв Z-преобразование от левой и правой частей (52) получим:

Отсюда следует выражение для системной функции цифрового рекурсивного фильтра:

В реализуемых цифровых фильтрах обычно M>Q. При таких условиях дробно-рациональная функция (56) имеет на Z-плоскости: L нулей, определяемых корнями Zoi уравнения:

M-L-кратный ноль в точке Z=0;

М полюсов, определяемых корнями Zni уравнения

Если коэффициенты bℓ (ℓ=1,M) вещественны, то корни уравнения (57) (т.е полюса H(z)) лежат либо на вещественной оси, либо образуют комплексно сопряженные пары.

Системной функции (56) соответствует частотная характеристика ЦФ:

где R_o,i=e^j^wD-z_o,i,R_п_,i= e^j^wD- z_o,i

АЧХ фильтра (в децибелах) определяется формулой:

За счет наличия обратной связи рекурсивные ЦФ характеризуются нефинитной (длящейся неограниченно) импульсной характеристикой (откликом на единичный импульс (1,0,0,0,…)).

Система с обратной связью нуждается в исследовании на устойчивость. ЦФ устойчив, если │yn│при n→∞ не превышает некоторого положительного числа А, независимо от выбора начальных условий в схеме. Чтобы исследовать устойчивость схемы, надо исследовать поведение свободных колебаний, т.е. уравнение (52) при отсутствии внешнего воздействия:

Известно, что отдельное свободное колебание в линейной стационарной системе определяется выражением. При t=kΔ, имеем. Обозначив

решение уравнения (58) можно искать в виде:

Подставляя (59) в (58) получаем характеристическое уравнение, определяющее λ:

Уравнение (60) совпадает с уравнением (57), которому удовлетворяю полюсы системной функции рекурсивного ЦФ (классический алгебраический критерий устойчивости Раусса-Гурвица).

При найденных корнях уравнения (60) или (57) λk=zk, k=1,M, общее решение уравнения (58) можно представить в виде:

где ограниченные коэффициенты А1, А2, …Аm определяются начальными условиями.

Для момента времен с номером (k+1) из (61) следует:

Если все полюса системной функции (56) удовлетворяют условию

т.е. они лежат внутри единичного круг с центром в точке z=0, то на основании (61) и (62) можно прийти к заключению, что все свободные колебания во времени определяются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и фильтр будет устойчивым.

Недостатком рассмотренной схемы рекурсивного ЦФ является наличие отдельных элементов задержки для входных и выходных отсчетов.

Это недостаток устранен в так называемой канонической схеме рекурсивного ЦФ, использующего общие элементы задержки для входных и выходных отсчетов, при M=L.

a₀