Учет погрешности цифровой фильтрации из-за квантования сигнала по уровням

Появление быстродействующих многоразрядных процессоров цифровой обработки сигналов самых различных типов сделало возможным производить цифровую обработку сигналов не только речи и вещания, но и телевидения. Однако, даже при такой совершенной технике необходимо учитывать погрешности работы ЦФ, обусловленную квантованием уровней сигналов.

Пусть х_max и x_min – наибольшее и наименьшее значение уровня сигнала на выходе аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Если для квантования сигналов используется Q уровней, то при равномерном квантовании шаг квантования определяется соотношением

Квантованные отсчеты х_кв(k) описывают мгновенные значения аналогового дискретного сигнала x(k) с определенной погрешностью (с шумом квантования): ε(k)=x_кв(k)-x(k). Эта погрешность уменьшается (по модулю) с уменьшением Δх. Будем считать, что квантователь работает по следующим правилам: в качестве дискретного принимается уровень, ближайший к истинному. Если действительный входной уровень x(k) находится в середине между дискретными номерами q и (q+1) – выбирается любой из них. При оговоренных условиях погрешность ε_вх(k) лежит в пределах

Чаще всего считается, что случайная погрешность E_вх (при

различных k) равномерно распределена на отрезке. Тогда

ее математическое ожидание (МО) равно нулю, а дисперсия

Определим погрешность работы линейного

стационарного фильтра, обусловленную шумом квантования ε_вх(k). Дискретный входной отсчет ЦФ, обусловленный шумом квантования ε_вх(k), согласно (41) равен

Математическое ожидание выходного шума E_вых=0. Для нахождения дисперсии выходного шума предположим, что отдельные отсчеты входного шума E_вх(k) – независимые случайные величины с

равномерным распределением и дисперсией. Тогда

Выходной шум ЦФ, обусловленный квантованием сигнала, тем меньше, чем быстрее убывают отсчеты импульсной характеристики фильтра. Относительную погрешность ЦФ, обусловленную шумом квантования, можно определить так

Оценим влияние шума квантования на работу цифрового перемножителя. Из-за шума квантования квантованные отсчеты входного и опорного сигналов можно записать в виде

Тогда

Схема цифрового

перемножителя

Ошибка цифрового перемножителя из-за шума квантования будет такой

E_вых(k)=x(k)E_f(k)+f(k)E_x(x)+E_x(k)E_f(k)

При сделанных ранее предположениях о шуме квантования математическое ожидание

. Предполагая шумы квантования сигналов x(t) и f(t) независимыми стационарными случайными процессами, получаем для дисперсии выходного шума перемножителя следующее выражение

Если сигналы x(t) и f(t) квантуются с одинаковым шагом D _x=D_t=p, то