Использование Z-преобразования в теории стационарных линейных цифровых фильтров

Это преобразование можно получить из преобразования Лапласа или Фурье для дискретного сигнала x_g(t)

Определим одностороннее преобразование Лапласа (для сигналов, определенных при t ³0 для дискретного сигнала вида (1)):

При p=j w из (31) следует преобразование Фурье для дискретного сигнала.

Если обозначить:

то преобразование Лапласа (31) переходит в Z- преобразование дискретного сигнала X_g(t):

Очевидно, что из преобразования Фурье дискретного сигнала X_g(t) при

следует также Z-преобразование X(z).

Справедливо и обратное утверждение: из Z-преобразования X(z) дискретного сигнала (33) при следует его преобразование Лапласа. (Или из X(z) при следует преобразование Фурье сигнала).

Если дискретный сигнал X_g(t) определен и при t<0, то вместо (33) можно ввести более общее преобразование для такого сигнала:

Следует оговорить сходимость X(z) при неограниченном числе слагаемых в (33) или (35). Отсчеты x(k) всегда удовлетворяют условию |x(k)|<CR^k, k > 0, C>0 и R>0 постоянные вещественные числа. Тогда (33) сходится при всех Z, для которых │z│>R (т.е. в кольцевой области с радиусом сходимости R). В области сходимости X(z) представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую в этой области ни полюсов, ни существенно особых точек.

Для нахождения x(k) по X(z) (т.е. обратного Z-преобразования) умножим левую и правую части (33) на Zⁿ^-1

Возьмем от левой и правой частей (36) интеграл по z по замкнутому контуру в области аналитичности, охватывающей все полюсы функции X(z)z^n-1. Получим следующий результат:

Этот результат следует из теоремы Коши при интегрировании функции комплексного переменного z:

Наиболее важное свойство Z-преобразования связано со сдвигом сигнала во времени:

Таким образом, Z-преобразование дискретного сигнала y(t), у которого все отсчеты смещены на один такт (в сторону запаздывания) относительно дискретного сигнала X_g(t), равно произведению z^-1 на X(z). Можно сказать, что z^-1 является оператором сдвига на один такт в сторону запаздывания. Для доказательства (39) запишем Z-преобразование последовательности{y(k)=x(k-1)}:

Вводя переменную k-1=n, из (40) получим (39). Очевидно, если

y(k)=x(k-n), то Y(z)=z^-1X(z).

Рассмотрим дискретную свертку конечной протяженности :

Найдем Z-преобразование этой свертки:

Таким образом, свертка двух дискретных сигналов соответствует произведению их Z-преобразований.

Покажем, что импульсная характеристика ЦФ {g(0), g(1)…g()} является его откликом на единичный импульс (1,0,0,0,0,…). Действительно, при воздействии единичного импульса формула (41) принимает вид:

y()=g(), =0,1,2… (43)

Если импульсная характеристика ЦФ финитна, то

y()=0 при =Q+1, (44)

где (L+1)- число тактовых отрезков на интервале финитности.

Рассмотрим прохождение через линейный ЦФ гармонической последовательности вида x(t)=ej⁽^w^t+^j) или в дискретном виде:

x(k)=e^j⁽^w^k^{D +}^j) (45)

Согласно формуле свертки (41) с учетом (45) находим выходной сигнал:

Введем над знаком суммы новый индекс суммирования q-k=n и учтем, что из соображений реализуемости g(n)=0 при n<0. Тогда:

где

- комплексная передаточная характеристика ЦФ. Импульсная характеристика ЦФ в реальном масштабе времени будет иметь вид:

причем Ќцф(f) является преобразованием Фурье от дискретного сигнала вида (48).

Как следует из (47), Ќцф(f) является периодической функцией частоты дискретизации F_g=1/Δ (как и спектр дискретного сигнала).

Если в (47) ввести переменную z=e^j^wD, то получим Z-преобразование импульсной характеристики ЦФ:

H(z) называют системной функцией стационарного линейного ЦФ.

Из (42) при замене G(z) на H(z) видно, что системная функция ЦФ определяется как отношение Z-преобразования выходного сигнала фильтра к Z-преобразованию входного сигнала: