Многоканальная СМО с ожиданием

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки имеют интенсивности λ и μ соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна .
Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна:

где
.
Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:
Остальные вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяется по следующим формулам:
среднее число клиентов в очереди на обслуживание
;
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)
L_S = L_q +ρ;
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди
;
средняя продолжительность пребывания клиента в системе
.

Пример. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность λ=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно t _об =0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:
- вероятность состояний системы;
- среднее число заявок в очереди на обслуживание;
- среднее число находящихся в системе заявок;
- среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
- среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
Решение
Определим параметр потока обслуживаний

Приведенная интенсивность потока заявок
ρ=λ/μ=2,5/2,0=1,25,
при этом λ/μ ∙ с =2,5/2∙3=0,41<1.
Поскольку λ/μ∙ с <1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.
Вычислим вероятности состояний системы:



Вероятность отсутствия очереди у мастерской
Р_отк≈ Р ₀+ Р ₁+ Р ₂+ Р ₃≈0,279+0,394+0,218+0,091=0,937.
Среднее число заявок в очереди на обслуживание

Среднее число находящихся в системе заявок
L_s = L_q + =0,111+1,25=1,361.
Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание
суток.
Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)
суток.