Задача №4. Используя образующий многочлен P(X)=Xn+X+1, построить циклический код, исправляющий все одиночные ошибки

Используя образующий многочлен P(X)=X_n+X+1, построить циклический код, исправляющий все одиночные ошибки, если необходимо передать 19 различных сообщений. Оценить эффективность кода.

Решение

P(X)=X³+X+1=1011

Минимальное количество информационных разрядов обозначим m.

m=log₂N=log₂19=4,35=5 – округляем в большую сторону.

Т. к. степень полинома равна 3, то число корректирующих разрядов равно максимальной степени полинома k=3.

n=m+k=5+3=8

Образующая матрица циклического кода имеет вид:

Разрешённые кодовые комбинации (8,5)-циклического кода, заданного матрицей С_8,5, получаем путем сложения по модулю 2 строк A, B, C, D, E

1-A 00001011 10-B+C 00111010

2-B 00010110 11-B+D 01001110

3-C 00101100 12-B+E 10100110

4-D 01011000 13-C+D 01110100

5-E 10110000 14-C+E 10011100

6-A+B 00011101 15-D+E 11101000

7-A|+C 00100111 16-A+B+C 00110001

8-A+D 01011011 17-A+B+C+D 01101000

9-A+E 10111011 18-A+B+C+E 10000000

19-A+B+C+D+E 11011000

Задача №5

Построить БЧХ-код длиной в 19 символов, исправляющий одну или две ошибки.