2015-05-06
846
В данном разделе приводятся необходимые для дальнейшего рассмотрения сведения о математическом аппарате Z -преобразования. Более подробная информация содержится в [1].
Z -преобразованием (прямым) последовательности 
называют следующий ряд
, (1.22)
где – оригинал – вещественная или комплексная последовательность, для которой выполняется условие (1.9);
– z - изображение последовательности , результат Z -преобразования.
Z -преобразование однозначно связано с последовательностью и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда
. (1.23)
Z- преобразование (1.22) получено на основе известного дискретного преобразования Лапласа
в результате замены переменных
, (1.24)
где p – оператор Лапласа
. (1.25)
Определим взаимосвязь между комплексными p - и z -плоскостями.
Подставляя p (1.25) в (1.24), получаем
, (1.26)
после чего, раскрывая 
по формуле Эйлера
,
имеем вещественную x и мнимую 
части комплексной переменной z (рис. 1.10):
; (1.27)
. (1.28)
Комплексная переменная z может быть представлена в двух формах:
- алгебраической
; (1.29)
- показательной
, (1.30)
где радиус 
является модулем, а угол j – аргументом переменной z (1.29):
; (1.31)
. (1.32)
Рис. 1.10. Комплексные p - и z -плоскости
Соответственно, положение произвольной точки на комплексной z -плоскости может указываться:
- координатами (x;h) – в декартовой системе координат;
- полярными координатами (радиусом r и углом j) – в полярной системе координат.
Сопоставляя соотношения (1.26) и (1.30), выразим значения радиуса r и угла j через s и w соответственно:
; (1.33)
. (1.34)
Равенство (1.34) указывает на то, что угол j точки на комплексной z -плоскости есть не что иное, как нормированная частота 
(1.8), измеряемая в радианах.
В силу периодичности экспоненты 
угол j (1.34) комплексной переменной z определяется с точностью до слагаемого 2p k, где k – любое целое число:
,
однако, как правило, по умолчанию речь идет о главном значении аргумента из диапазона
.
