Нерекурсивные и рекурсивные фильтры

Одной из областей ЦОС, в основе выполнения процедур которой лежит вычисление выражений типа свертки, является цифровая линейная фильтрация

Цифровые фильтры по принципу выполнения фильтрации могут быть разделены на два класса - рекурсивные и не рекурсивные фильтры [21, 24].

Математически функционирование нерекурсивного фильтра описывается уравнением вида:

y_n = (5.21)

Такой фильтр может рассматриваться как устройство без обратной связи, имеющее структуру, показанную на рис.5.1:

Рис. 5.1. Нерекурсивный линейный фильтр

Работа же рекурсивного фильтра описывается выражением:

y_n = - , (5.22)

где y_n - n-й отсчет выходного сигнала; x_n - n-й отсчет входного сигнала; h_k - коэффициенты фильтра.

Нетрудно видеть, что такой рекурсивный фильтр может рассматриваться как устройство с обратной связью.

Наиболее обобщенной структурой цифрового фильтра является структура рекурсивного фильтра (рис. 5.2). Последний включает как умножители с прямой связью(веса регулируются коэффициентами a), так и умножители с обратной связью (веса регулируются коэффициентами b). Характеристика такого n- звенного фильтра описывается дифференциальным уравнением n -го порядка, показывающим, что значение выборки на выходе фильтра в данный момент времени определяется линейной комбинацией взвешенных выборок в данный и предыдущий моменты времени (это справедливо и для предыдущих выборок). В результате построения такой структуры получается фильтр с характеристикой полюсно-нулевого типа, где размещение полюсов определяется коэффициентами b, а размещение нулей – коэффициентами a. Число полюсов и нулей, или порядок фильтра, задается количеством элементов задержки. В продаже имеются интегральные фильтры второго порядка для скоростей передачи входных импульсов (64 килобод), совместимых со скоростями передачи в цифровых телефонных системах.

Рис. 5.2.. Структурная схема рекурсивного фильтра с бесконечной импульсной характеристикой.

Подобная структура рекурсивного фильтра имеет теоретически бесконечную память, и, следовательно, ее можно считать структурой фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Такой фильтр не обладает неограниченной устойчивостью, если на значения коэффициентов b не наложены ограничения. Однако наличие в характеристике как полюсов, так и нулей позволяет реализовать фильтр с крутым срезом характеристики в сочетании с малой шириной полосы пропускания при небольшом числе элементов задержки (т.е. фильтр малой сложности). Один из недостатков фильтра БИХ-типа – отсутствие методов управления фазовой характеристикой (групповой задержкой) фильтра. Однако основной проблемой при проектировании адаптивных фильтров БИХ-типа является возможная неустойчивость фильтра из-за наличия паразитных полюсов за пределами области устойчивости.

Один из способов преодоления потенциальной неустойчивости фильтра является создание такого фильтра, который имеет в характеристике одни нули; в нем используются только умножители с прямой связью, и он безусловно устойчив (Рис. 5.3.). этот фильтр имеет лишь ограниченную память, регулируемую числом элементов задержки, что приводит к созданию фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ-типа или трансверсального типа). Задержка входного сигнала производится с помощью некоторого числа элементов задержки. Выходы этих элементов задержки последовательно умножаются на ряд накопленных в памяти весов и полученные произведения суммируются для формирования выходного сигнала; тем самым предполагается, что выходной сигнал определяется сверткой входного сигнала с накопленными в памяти весами или значениями импульсной характеристики. Данный фильтр содержит в характеристике лишь нули (поскольку в нем нет рекурсивных элементов обратной связи), и, следовательно, для получения частотной характеристики с крутым срезом необходимо большое число элементов задержки. Однако фильтр всегда устойчив и может обеспечить линейную фазовую характеристику.

Рис. 5.3. Структурная схема нерекурсивного фильтра с конечной импульсной характеристикой.