Доказательство. Пусть система состоит из материальных точек с массами и радиус-векторами

Пусть система состоит из материальных точек с массами и радиус-векторами . Как известно^[1][3], центром масс (центром инерции) системы материальных точек называется геометрическая точка, радиус-вектор которой удовлетворяет равенству

где — масса всей системы, равная

Дифференцируя (1) два раза по времени, для ускорения центра масс получаем:

где — ускорение материальной точки с номером i.

Для последующего рассмотрения целесообразно разделить все силы, действующие на тела системы, на два типа:

· Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i обозначим .

· Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать . Соответственно, сила воздействия i -й точки на k -ю точку будет обозначаться . Из сказанного очевидно, что если , то

Используя введённые обозначения, второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек можно записать в виде

Суммируя все уравнения вида (3), получим:

Выражение представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. Учтём теперь, что по третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе соответствует сила такая, что и, значит, выполняется Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, из (4) следует

Далее, обозначив и подставив полученное выражение в (2), приходим к уравнению

или к

Таким образом, движение центра масс определяется только внешними силами, а внутренние силы никакого влияния на это движение оказать не могут. Формула (6) является математическим выражением теоремы о движении центра масс системы.