Вывод уравнений

Уравнения Лагранжа в механике получаются из законов динамики Эйлера (баланса количества движения и момента количества движения) при определенных ограничениях на систему (в ней должны присутствовать лишь идеальные голономные связи). Для других случаев получаются модификации уравнений Лагранжа. Отметим, что это частный (хотя и очень важный) случай механических систем.

Если для рассматриваемой системы применим принцип наименьшего действия, то вывод можно провести иначе. Влагранжевой механике вывод уравнений Лагранжа происходит на основе принципа наименьшего действия. Механическая система может быть описана некой функцией , называемой лагранжианом. Лагранжиан - это разность кинетической и потенциальной энергий системы. Принцип наименьшего действия гласит, что функционал

называемый действием принимает минимальное значение на траектории системы (здесь t₁ и t₂ — начальный и конечный моменты времени). Заметим, что необходимо доказать применимость принципа наименьшего действия к рассматриваемой системе: далеко не все физические системы ему подчиняются. Применяя к функционалу действию стандартную схему оптимизации, получаем для него уравнения Лагранжа — Эйлера, которые и называются уравнениями Лагранжа второго рода для механической системы.

Вывод уравнений для системы с одной обобщенной координатой и скоростью

Изменение действия при переходе из состояния в

Разлагая эту разность по степеням

Варьируя это выражение, получаем:

Первое слагаемое заменяется по формуле Ньютона-Лейбница. Второе интегрируем по частям замечая что

Первое слагаемое равно нулю исходя из самой первой формулы вывода. Второе слагаемое может быть равно нулю только если подынтегральное выражение равно нулю. Оно и является искомым уравнением Лагранжа: