2015-05-06
1393
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ
И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА
С ПОМОЩЬЮ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА
Цель работы: Проверить теорему Штейнера.
Принадлежности: Трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, линейка, исследуемые тела (два стальных цилиндра).
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Моментом инерции материальной точки называют физическую величину, определяемую произведением массы точки m на квадрат расстояния ее r от оси вращения:
I = m×r2.
Всякое тело можно рассматривать как совокупность некоторого числа материальных точек. Момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек:
.
Момент инерции является удобной характеристикой инертности тела, проявляемой при вращательном движении. Он входит в ряд важных соотношений, характеризующих твердое тело, вращающееся относительно неподвижной свободной оси. Например, в соотношения, определяющие момент импульса и кинетическую энергию тела
.
Момент инерции входит и во второй закон Ньютона, описывающий вращение твердого тела:
|
|
|
` 
,
и в ряд других формул, определяющих период колебаний физического и крутильного маятников:
.
Поэтому определение момента инерции твердых тел имеет большое практическое значение. Чаще всего момент инерции тел определяется опытным путем. В данной работе для этого используется трифилярный подвес, совершающий крутильные колебания.
Известно, что при небольших углах закручивания трифилярный подвес (рис.2) совершает гармонические колебания, период которых определяется формулой:
. (1)
Здесь I0 - момент инерции нижней платформы относительно оси вращения, m0 - ее масса, R - радиус нижней платформы, r - радиус верхней платформы, ℓ - расстояние между центрами платформ.
Если на нижнюю платформу поместить исследуемое тело с моментом инерции Ix и массой m, то период колебаний маятника изменится и станет равным:
. (2)
Из приведенных формул (1) и (2) легко получить формулу для момента инерции исследуемого тела:
. (3)
В 
еличина момента инерции тела существенно зависит от положения оси вращения. Связь между моментами инерции тела относительно параллельных осей устанавливается теоремой Штейнера, которая утверждает, что...
Момент инерции тела относительно произвольной оси I превосходит его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела Ic параллельно данной, на величину ma2:
I – Ic = ma2; I = Ic + ma2.
Здесь m - масса тела, a - расстояние между осями
Используя теорему Штейнера, подсчитаем момент инерции прямого однородного кругового цилиндра массы m и радиуса R относительно оси, совпадающей с его образующей:
Iобр = Ic + ma2; a = R; Ic = 1/2 mR2,
|
|
|
поэтому Iобр =1/2 mR2 + mR2 = 3/2 mR2;
Iобр = 3×Ic. (5)
Из полученного следует, что момент инерции цилиндра относительно образующей превосходит его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, в 3 (три) раза.
Главной целью данной работы является экспериментальная проверка этого вывода.
