Задача 4. Найдите плотность вещества планеты, период вращения которой 24 ч, если на ее экваторе тела невесомы

Найдите плотность вещества планеты, период вращения которой 24 ч, если на ее экваторе тела невесомы.

Дано: Т = 24 ч, Р = 0.

Найти: ρ.

Решение. На тело, находящееся на экваторе планеты, действует сила тяготения F и сила нормальной реакции поверхности планеты N_p

Тело вместе с планетой равномерно вращается вокруг ее оси Следовательно, ускорение будет направлено по радиусу к центру окружности.

Основное уравнение динамики запишется так:

или в проекциях на ось Ох:

Потретьему закону Ньютона Р = N_p. Но по условию Р= 0. Следовательно, N_p=0. Поэтому

где G — гравитационная постоянная, М — масса планеты, R — ее радиус. Отсюда

Центростремительное ускорение

Значит,

Искомая плотность

где — объем планеты. Следовательно,