Пример выполнения задания Д 10

Тема: Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы».

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжения груза 1, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорости движения всех тел, входящих в механическую систему в тот момент времени, когда пройденный грузом путь станет равным S. Начальное положение системы показано на рисунке 6.

Дано:

; ; ; ; ; S=S₁=1м; f=0,1

Покажем на механической системе веса тел , , ; линейные скорости , , угловые скорости , ; силу трения груза 1 Расчетная схема данной механической системы изображена на рисунке 6.

Рис. 6

Для решения применим теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральном виде:

где и - кинетическая энергия системы в ее начальном и конечном

положениях;

- сумма работ внешних сил, приложенных к системе;

- сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями:

Так как в начальном положении система находится в покое, то .Из этого следует, что уравнение примет вид:

. (1)

Кинетическая энергия рассматриваемой системы T в конечном ее положении равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3:

. (2)

Кинетическая энергия груза 1, который движется поступательно:

. (3)

Кинетическая энергия блока 2, с заданным радиусом инерции, совершающего вращательное движение:

; (4)

. (5)

Запишем соотношения между скоростями и перемещениями для механической системы:

(6)

где: , - угловые скорости тел;

- линейные скорости точек тел ( - скорость точки Д барабана равна скорости точки Е катка);

- скорость центра масс однородного катка 3;

, , - радиусы тел 2 и 3.

Используя уравнение взаимосвязи между параметрами (6), получаем:

. (7)

Кинетическая энергия сплошного однородного цилиндра 3, совершающего плоское движение, складывается из энергии поступательного движения центра тяжести катка и энергии его вращательного движения :

. (8)

Определим энергию поступательного движения цилиндра 3, используя уравнения (6):

. (9)

Определим энергию вращательного движения цилиндра 3, используя уравнения (6):

. (10)

Момент инерции для сплошного однородного цилиндра 3 равен:

; (11)

Тогда:

. (12)

Кинетическая энергия механической системы будет равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему:

(13)

Далее запишем сумму работ всех внешних сил, действующих на механическую систему. Ее составляет работа сил тяжести каждого тела , , и работа силы трения груза 1 .