Решение. Пример выполнения задания Д1

Пример выполнения задания Д1.

Условие задачи: Тело массой m = 2 кг, получив в точке A начальную скорость V₀ = 8 м/с, движется в изогнутой трубке АВС, расположенной в вертикальной плоскости. На участке AB на тело кроме силы тяжести действует, как указано на рис. Д1.2, постоянная сила Q = 9,8 Н и сила сопротивления R = 0,5 V² Н. Пройдя расстояние AB = l = 3 м, тело D в точке B, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила, проекция которой на ось Х равна F_x = 8 t + 4cos0,2 t (Н) и сила трения скольжения. Коэффициент трения скольжения f = 0,1. Найти закон движения тела D на участке ВС. Принять g = 9,8 м/с².

Запишем условие задачи в кратком виде:

Дано: m = 2 кг; V₀ = 8 м/с; Q = 9,8 Н; R = 0,5 V² Н; AB = l = 3 м; F_x = 8 t + 4cos0,2 t, Н; f = 0,1.

Определить: х = х (t).

Рис. Д1.2

Решение.

1. Считая тело D материальной точкой, рассмотрим его движение на участке ВС (ось Х уже выбрана). На тело D действуют (рис. Д1.3): сила тяжести , нормальная реакция стенки трубки , переменная сила, проекция которой на ось Х равна и сила трения .

Сила трения по модулю равна:

Н. (1)

Рис. Д1.3

В выражении (1) ускорение свободного падения

g = 9,8 м/с².

Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки в проекции на ось Х:

(Н).

или

м/c². (2)

Для нахождения искомого закона движения материальной точки необходимо дважды проинтегрировать уравнение (2). Первый интеграл:

(3)

Второй интеграл:

(4)

Произвольные постоянные С₁ и С₂ определим из начальных на участке ВС условий: при t = 0 начальное положение тела D равно Х_о = 0, а начальная его скорость равна V_B. Следовательно, подставляя начальные условия в уравнения (3) и (4) получим:

С₁ = V_B, м/с и С₂ = 50 м.

Таким образом, искомое уравнение движения тела D на участке ВС принимает вид:

м. (5)

Неизвестной величиной в уравнении движения (5) является начальная на участке ВС скорость тела D. По условию задачи «…тело D в точке B, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы…», следовательно, начальная скорость тела на участке ВС V_B равна по модулю конечной скорости тела V_B на участке АВ. Переходим, для нахождения скорости V_B, к рассмотрению движения тела D на участке АВ.

2. Рассмотрим движение тела D, которое принимаем за материальную точку, на участке АВ. Изображаем тело в произвольном положении на этом участке и прикладываем действующие на него силы: силу тяжести ,

Рис. Д1.4

нормальную реакцию стенки трубки , силу и силу сопротивления . Здесь же показана и выбранная система координат – ось У. Ось одна, т.к. на участке АВ, так же как и на участке ВС, тело D движется прямолинейно.

Составим дифференциальное уравнение движения тела D на участке АВ в проекции на ось У:

(6)

Сократим обе части уравнения (6) на массу m и подставим цифровые параметры:

(7)

Так как

то полученное уравнение (7) принимает вид:

или

(8)

Полученное дифференциальное уравнение (8) является уравнением первого порядка с разделяющими переменными. Разделив переменные, имеем:

откуда

(9)

Постоянную интегрирования С₃ находим из начальных условий на участке АВ: при t = 0 начальная координата тела D равна у₀ = 0 и начальная скорость V₀ = V_A. Следовательно:

(10)

Подставив выражение (10) в уравнение (9) получим:

Откуда:

Следовательно,

м/с. (11)

Формула (11) – это закон изменения скорости тела D на участке АВ.

Подставляем в эту формулу значение длины участка АВ = l = у_к = 3 м, найдем скорость тела D в точке В:

м/с. (12)

3. Определение уравнения движения тела D на участке ВС.

Выяснив значение модуля скорости тела D в точке В, подставляем (12) в уравнение (5):

м.

Ответ: м.

4. ЗАДАНИЕ Д2 Применение общих теорем к изучению движения материальной точки

Шарик, принимаемый за материальную точку, двигается из положения А в середине трубки, ось которой находится в вертикальной плоскости (рис.Д2.1). Найти скорость шарика в положениях В, С, Д, Е и силу давления шарика на стенку трубки в положении С. Силами трения на криволинейных участках траектории пренебречь. Необходимые для расчетов данные приведены в таблицах Д-2.1 и Д-2.2, в которых:

m - масса шарика;

- скорость шарика в положении А;

- время движения шарика на участке АВ;

АВ - длина участка АВ;

f - коэффициент трения скольжения шарика на прямолинейных участках трубки;

R - радиус кривизны трубки;

- время движения шарика на участке DЕ;

DЕ - длина участка DЕ.

Указания: 1. По последней цифре номера зачетной книжки следует выбрать схему, что изображена на рис. Д2.1.

2. По предпоследней цифре номера зачетной книжки следует выбрать параметры для расчета, которые представлены в табл. Д-2.1 и Д-2.2.

Таблица Д-2.1 Таблица Д-2.2

вариант	t_DE, с	DЕ, м
	0,2	-
	-	2,5
	0,4	-
	-	2,0
	0,6	-
	-	1,5
	0,8	-
	-	1,0
	1,0	-
	-	0,5

вариант	m, кг	t_AB, с	АВ, м	f	R, м
	0,2	-	2,5	0,10	2,0
	0,1	0,2	-	0,15	1,8
	0,4	-	2,0	0,20	1,6
	0,3	0,4	-	0,10	1,4
	0,2	-	1,5	0,20	1,2
	0,4	0,6	-	0,15	1,0
	0,3	-	1,0	0,10	0,8
	0,1	0,8	-	0,20	0,6
	0,2	-	0,5	0,15	0,4
	0,4	1,0	-	0,10	0,2