Решение основной задачи динамики. Прямолинейное движение точки

Движение точки будет прямолинейным, когда действующая на нее сила (или равнодействующая приложенных сил) имеет постоянное направление, а скорость точки в начальный момент времени равна нулю или направлена вдоль линии действия силы.

Если координатную ось Ox направить вдоль траектории движения, то дифференциальное уравнение ее движения будет определяться первым из уравнений (6), т.е.

или (8)

Иногда дифференциальное уравнение (8) удобнее заменить двумя уравнениями, содержащими первые производные:

(9)

В случаях, когда при решении задачи надо искать зависимость скорости от координаты x, а не от времени t (или когда силы зависят от x), уравнение (9) преобразуют к переменному х. Так как dv_x/dt=dv_x/dt · dx/dx= v_x dv_x/dt, то вместо (9) получим:

(10)

Решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, т.е. функцию x=f(t). Для этого следует проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение движения точки. Чтобы стало понятнее, к чему сводится эта математическая задача, напомним, что входящие в правую часть уравнения (8) силы могут зависеть от:

а) времени t;

б) положения точки, т.е.от координаты х;

в) скорости точки v.

Следовательно, в общем случае уравнение (8) с математической точки зрения представляет собой дифференциальное уравнение 2-го порядка, имеющее вид

При интегрировании дифференциального уравнения в полученное решение войдут две постоянные интегрирования С₁ и С₂ и в общем случае решение уравнения (8) будет иметь вид:

x = f (t, x, v, C₁, C₂) (11)

Для определения постоянных С₁ и С₂ используютначальные условия. Изучение всякого движения будем начинать с некоторого момента времени, называемого начальным. От этого момента будем отсчитывать время движения, считая, что в начальный момент t=0. Положение, которое точка занимает в начальный момент времени, называется начальным положением, а ее скорость в этот момент – начальной скоростью.

Таким образом, чтобы решить основную задачу динамики надо, кроме действующих на точку сил, знать еще начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент времени.