2015-05-06
1096
Условие задачи: решить 777 вариант задачи Д3. Запишем условие задачи в кратком виде (из таблиц Д-3.1 и Д-3.2):
Дано: α = 60°; β = 30°; m1 = 30 кг; m2 = 8 кг; m3 = 6 кг; m4 = 22 кг; V0 = 0; f = 0,1; R2 = 0,30 м; R3 = 0,20 м; i2 = 0,20 м; i3 = 0,16 м; R4 = 0,40 м; δ = 0,02 м; S = 0,5 м; r2 = 0,5 R2; r3 = 0,4 R3.
Найти: V1; VC.
Рис. Д3.2
Решение.
1. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии механической системы:
(1)
где: 
- кинетическая энергия механической системы в конечный момент времени, т.е. кинетическая энергия системы в момент, когда пройденный грузом 1 путь равен S;
- кинетическая энергия механической системы в начальный момент времени;
- сумма работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к точкам механической системы, соответственно.
Рассматриваем предложенную механическую систему состоящую из абсолютно твердых тел связанных между собой недеформируемыми (нерастяжимыми) нитями. В этом случае сумма работ всех внутренних сил
По условию задачи механическая система в начальный момент времени находилась в состоянии покоя, следовательно:
|
|
|
Уравнение (1) принимает вид:
(2)
2. Определение кинетической энергии механической системы.
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех тел, образующих систему, т.е.:
(3)
Кинетическая энергия твердого тела зависит от вида движения данного тела.
Предположим, груз 1 механической системы опускается по наклонной плоскости. В момент, когда пройденный им путь станет равным S, его скорость будет V1. Груз 1, как следует из рис. Д3.2, совершает поступательное движение и его кинетическая энергия равна:
(4)
Ступенчатый шкив 2 совершает вращательное движение с угловой скоростью ω2. Его кинетическая энергия равна:
где 
- момент инерции ступенчатого шкива относительно оси вращения.
Момент инерции ступенчатого шкива:
Следовательно,
(5)
Ступенчатый шкив 3, так же как и тело 2, совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω3. Его кинетическая энергия равна:
(6)
Каток 4 совершает плоское движение. Его центр масс т. С движется со скоростью VС. Пренебрегая проскальзыванием катка будем считать точку касания катка с наклонной плоскостью (т. Р) мгновенным центром скоростей, вокруг которого в данный момент времени вращается каток с угловой скоростью
Кинетическая энергия катка:
где 
- момент инерции катка относительно оси, проходящей через центр масс катка.
Полагая каток однородным цилиндром, найдем значение указанного момента инерции:
Таким образом
(7)
Подставим выражения (4), (5), (6) и (7) в уравнение (3):
(8)
Установим зависимости между линейными и угловыми скоростями, выразив эти параметры через скорость груза 1 
.
|
|
|
(9)
Подставим выражения (9) в уравнение (8) и упростим:
(10)
3. Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к точкам механической системы, за время, когда груз 1 пройдет путь S. Покажем на рис. Д3.2 все внешние силы: силу тяжести груза 1 
, нормальную реакцию 
, силу трения 
, силу тяжести блока 2 
и реакции подшипников 
и 
, силу тяжести блока 3 
и реакции подшипников 
и 
, силу тяжести катка 4 
, нормальную реакцию 
и момент сопротивления вследствие трения качения катка об опорную поверхность 
.
Помним, что работа силы равна нулю, если:
1) сила перпендикулярна перемещению тела;
2) сила приложена к неподвижной точке.
Учитывая это, видим, что работа сил , , , , , , и равна нулю.
Таким образом, работу совершают силы , , и момент . Вычислим работу этих сил и момента:
а) работа силы тяжести :
б) работа силы трения :
в) работа силы тяжести :
г) работа момента :
Соотношение между перемещениями S и S4 найдем из тех соображений, что за одно и то же время t:
Или
Таким образом:
Н·м = 109 Дж (10)
4. Приравниваем выражение (10) и (11) и находим искомую скорость 
:
Дж,
и
м/с.
Скорость груза положительна. Это означает, что наше предположение, будто груз 1 опускается, оказалось правильным.
5. Находим скорость 
:
м/с.
Ответ: V1 = 2,19 м/с; VC = 0,438 м/с.
ЛИТЕРАТУРА
1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Часть II. Динамика. М., 1984. – 430 с.
2. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М., 1983. – 575 с.
3. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Часть II. Динамика. М., 1964. – 663 с.
4. Лук’янець О.Г., Євдокімов А.І., Калашнікова Т.Г., Татаренко К.О., Нестеренко Т.П. Методичний посібник (довідник) з теоретичної механіки для виконання завдань розрахунково-графічних робіт №5 і №6 (розділ «Динаміка»). Макіївка: ДонНАБА, 2008. – 32 с.
5. Мущанов В.П., Євдокімов А.І., Лук’янець О.Г., Калашнікова Т.Г. Термінологічний довідник (посібник) з теоретичної механіки для використання в навчальному процесі при вивченні курсу «Теоретична механіка». Макіївка, ДонНАБА, 2008. – 30с.
6. Мущанов В.П., Загребельний М.І., Лук’янець О.Г. Методичні вказівки для самостійної роботи студентів з курсу «Теоретична механіка» (Розділ «Динаміка»). Розрахунково-графічна робота РР4. Макіївка: ДонНАБА, 2008. – 35с.
7. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., 1986.
