2015-05-06
298
Заявка, пришедшая в момент, когда канал занят, теряется. Множество возможных состояний системы: S0 - канал обслуживания свободен и S1 - канал занят. Граф состояний системы изображен на рис. 5.1.
Уравнения Колмогорова:
Уравнение нормировки
.
Для решения системы уравнений воспользуемся уравнением нормировки и исключим из первого уравнения p1(t):
.
Здесь и далее обозначаются: pi(t) - вероятность состояния, зависящая от времени, а pi - предельная (стационарная) вероятность нахождения системы в i-том состоянии.
Предельная вероятность состояния S0 p0=m/(l+m). Характеристическое уравнение r+(l+m)=0 имеет корень r= -(l+m).
Найдем решение дифференциального уравнения при начальных условиях p0(0)=1, p1(0)=0.
Общее решение уравнения
p0(t)=C1+C2exp[-(l+m)t],
где C1, C2 - постоянные интегрирования, которые определяются выбранными начальными условиями.
При t→∞ lim t®¥[dp0(t)/dt] =0 и, следовательно, C1 =m/(l+m)=p0, где p0 - предельная вероятность состояния S0. Естественно, предельные вероятности состояний системы не зависят от начальных условий.
|
|
|
Получим решение уравнения для случая, когда в момент t=0 канал обслуживания был свободен, т.е.
p0(0)=p0+C2exp[-(l+m)t]=1,
C1+C2=1,
откуда С2=1-m/(l+m)= l/(l+m).
Воспользовавшись уравнением нормировки, получим решение системы дифференциальных уравнений
,
.
Предельные вероятности состояний одноканальной системы с отказами
.
