Многоканальные системы с отказами (раздел 6)

Описание системы. Число каналов обслуживания - n. Поток заявок - простейший с параметром (интенсивностью) l. Параметр потока не зависит от числа заявок, связанных с системой. Производительность каждого канала обслуживания - m, время обслуживания имеет экспоненциальное распределение, среднее время обслуживания - T_m=1/m. Заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, покидает систему и больше в нее не возвращается.

Множество возможных состояний системы:

S₀ - все каналы обслуживания свободны, S_k - занято k каналов (1£k<n), S_n- заняты все n каналов.

При наличии нескольких свободных каналов, канал для обслуживания очередной заявки выбирается случайно. Какие именно k из n каналов заняты, безразлично.

Размеченный граф состояний изображен на рис. 5.1. Полагается, что поток заявок не зависит от состояния системы, т.е. от числа заявок обслуживаемых системой, а интенсивность обслуженных заявок растет пропорционально числу занятых обслуживанием заявок каналов от m до nm.

Пользуясь правилом составления уравнений Колмогорова, можно составить систему дифференциальных уравнений.

Эти уравнения называются уравнениями Эрланга.

Для решения большинства практических задач достаточно найти предельные вероятности состояний. Для этого в системе дифференциальных уравнений следует приравнять нулю производные вероятностей состояний по времени:

Решение системы уравнений можно получить, последовательно выражая вероятности состояний p₁..p_n через вероятность p₀. Из уравнения нормировки находится вероятность p₀.

Из первого уравнения , подставляя полученное значение p₁ в уравнение для k=1, получим . Продолжая этот процесс, получаем

Из уравнения нормировки находится вероятность p₀. В результате получим

.

Формулы определяют вероятности занятости ровно k каналов из n.. Величину α называют нагрузкой системы.

Вероятность занятости всех каналов n-канальной системемассового обслуживания с отказами (т.е. вероятность отказа в обслуживании заявки)

.

R(n,α) – вероятность занятости всех n каналов в n-канальной системы с отказами при нагрузке α. Это так называемая первая формула Эрланга.

Из первой формулы Эрланга формально следует, что в виртуальной системе с числом когда нечной очередьюы M/M/1/mночть нахождения системы в состоянии стрелки переходов, а дво и более каналов равном нулю (n=0) вероятность занятости всех каналов равна единице при любых α>0.

Можно показать [15], что имеет место рекуррентное соотношение

Соотношение позволяет вычислять последовательность значений вероятности R(n,α) при изменении n и фиксированной нагрузке a. Для начала вычислений для заданного значения α надо положить, что при вычислении R(1,α) R(0,α)=1.