Схема гибели и размножения (раздел 7)

Как было показано, имея размеченный граф состояний, легко составить систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей. В некоторых случаях систему алгебраических уравнений удается решить заранее. В частности, это можно сделать для так называемой схемы гибели и размножения, граф состояний которой представлен на рис. 6.1. Граф этого типа соответствует процессу изменения численности популяции и используется в биологии для исследования динамики численности популяции, откуда и появилось название. Такие графы часто встречаются и в задачах теории массового обслуживания, поэтому есть смысл найти для них предельные вероятности состояний.

Интенсивностям переходов приписаны номера состояний, из которых исходят соответствующие стрелки. Граф характерен тем, что состояния системы можно вытянуть в цепочку так, что каждое среднее состояние связано с двумя соседними.

Запишем систему уравнений для предельных вероятностей состояний, поместив в левые части уравнений вероятности выхода из состояний, а в правые – вероятности входа в состояния:

Выразим вероятности всех состояний, начиная с p₁, через вероятность p₀. Для этого из первого уравнения найдем p₁, а затем последовательно будем исключать из уравнений вероятности предыдущих состояний: из второго уравнения, исключив p₁, найдем p₂, из третьего, исключив p₁ и p_2, найдем p₃ и т.д.

Повторяя эту процедуру, приходим к формуле

Полученный результат можно сформулировать в виде правила.

Для вычисления для предельных вероятности k-го состояния процесса гибели и размножения, начиная с k=1, необходимо:

- составить дробь, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей переходов слева направо, ведущих к k-му состоянию, а в знаменателе - произведение интенсивностей переходов справа налево, ведущих от k-го состояния;

- полученную дробь умножить эту дробь на вероятность p₀;

- вероятность определить из нормировочного уравнения:

.

При m_i=0 имеем процесс чистого размножения. Такой моделью описываются явления типа взрыва [10]. При l_i=0 - чистый процесс гибели. К этой модели приводит, например, задача определения надежности резервированных систем без восстановления.