С отказами

Рассмотрим многоканальную систему с отказами с числом каналов обслуживания n, на вход которой поступают два простейших потока, первого и второго приоритетов с интенсивностями l₁ и l₂, соответственно. Существенно то, что параметры обслуживания обоих потоков полагаются равными, то есть m₁=m₂=m. Обозначим a₁=l₁/m, a₂=l₂/m.

Приоритетность обслуживания проявляется только при занятости всех каналов обслуживания. Поскольку распределения времени обслуживания обоих потоков экспоненциальное, прерывание обслуживания заявки второго приоритета и замещение ее заявкой первого приоритета не меняет среднюю длительность обслуживания заявки.

Вначале найдем вероятность отказов в обслуживании, предположив, что оба потока имеют одинаковый приоритет. Равенство параметров обслуживания (m₁=m₂=m) позволяет суммировать интенсивности потоков. В соответствии с первой формулой Эрланга вероятность занятости всех каналов обслуживания заявками обоих потоков оказалась бы равной

и с этой вероятностью получали бы отказ в обслуживании заявки обоих потоков. При этом интенсивность потока отказов заявок первого потока оказалась бы равной произведению интенсивности приоритетного потока заявок на вероятность отказа в обслуживании в предположении равенства приоритетов:

.

В действительности же наличие потока второго приоритета не влияет на вероятность обслуживания заявок первого приоритета. Следовательно, вероятность занятости всех каналов заявками первого приоритета, т.е. вероятность получения отказа в обслуживании заявкой первого приоритета

,

а, фактическая интенсивность потока отказов заявок первого приоритета

.

Разность интенсивностей этих потоков есть ни что иное, как интенсивность потока вытесненных заявок второго приоритета принятых к обслуживании:

.

Интенсивность потока заявок второго приоритета, принимаемых к обслуживанию, равна произведению интенсивности потока, умноженному на вероятность того, что того, что в системе есть свободные каналы:

.

Вероятность прерывания обслуживания равна отношению интенсивностей потоков DI к [15]:

Вероятность обслуживания заявки второго приоритета равна произведению вероятностей приема к обслуживанию заявки второго приориета на вероятность того, что обслуживание не будет прервано, то есть

.

Среднее время пребывания в обслуживании заявки второго приоритета вследствие прерывания обслуживания части заявок оказывается меньше 1/m и составит T₂=(1-U)/m.