Приоритетное обслуживание в одноканальной системе с одним местом в очереди

На вход одноканальной системы с одним местом для ожидания обслуживания поступают два простейших потока заявок: первого приоритета с интенсивностью l₁ (заявки типа A) и второго с интенсивностью l₂ (заявки типа B). Время обслуживания заявок распределено экспоненциально с параметрами m₁ и m₂, соответственно.

Состояния системы и правила ее функционирования.

Обозначение состояния системы (S _{i j}) имеет два индекса. Первый индекс число заявок первого приоритета (заявок типа A) в системе. Второй индекс число заявок второго приоритета (заявок типа В) в системе. Индексы могут иметь три значения 0, 1, 2.

Возможные состояния системы:

S₀₀ - система свободна.

S₁₀ - в системе обслуживается одна заявка типа A. Место в очереди свободно.

S₂₀ - в системе находятся две заявки типа A, одна обслуживается, вторая - ожидает обслуживания. При этом любая поступившая заявка получает отказ в обслуживании, покидает систему и больше в нее не возвращается.

S_0A - в системе обслуживается одна заявка типа B, место в очереди свободно. При этом поступившая заявка типа A занимает канал обслуживания, а вытесненная заявка типа B занимает место в очереди. Если приходит заявка типа B она занимает место в очереди.

S₀₂ - в системе находятся две неприоритетные заявки: одна обслуживается, вторая - ожидает обслуживания в очереди. Если приходит заявка типа B она получает отказ в обслуживании, покидает систему и больше в нее не возвращается. Если приходит заявка типа A она принимается к обслуживанию, вытесняя из канала обслуживания заявку типа B из канала обслуживания.

Вытесненная из канала обслуживания заявка типа B занимает место в очереди, если оно свободно, или покидает систему и больше в нее не возвращаться, или вытесняет заявку второго приоритета из очереди. В последнем случае после окончания обслуживания приоритетной заявки прерванное обслуживание может быть

- продолжено (прерывание без потери времени обслуживания) или

- начато заново (прерывание с потерей времени обслуживания).

Прерывание без потери времени уже затраченного на обслуживание характерно для вычислительных процессов. В них при прерывании сохраняются все полученные ранее результаты, а процесс вычисления возобновляется с точки прерывания.

S₁₁ - в системе находятся две заявки: типа A - в обслуживании, типа B - ожидает обслуживания. Если приходит заявка типа B она получает отказ в обслуживании, покидает систему и больше в нее не возвращается. Если приходит заявка типа A она вытесняет из очереди заявку типа B, которая покидает систему и больше в нее не возвращается.

Возможные переходы в системе и их интенсивности сведены в таблицу 11.1.

Таблица 11.1

Переход в состояние ß	Исходные состояния Si j
S00	S10	S20	S0A	S02	S11
S00	-λ1-λ2	μ1		μ 2
S10	λ1	-λ1-λ2- μ1	μ1
S20		λ1	-μ1			λ1
S0A	λ2			-λ1-λ2- μ2	μ2	μ1
S02				λ2	-λ1- μ2
S11		λ2		λ1	λ 1	-λ1–μ1

Интенсивность перехода системы из состояния записываются в таблицу со знаком плюс, а интенсивность прихода системы в состояние – со знаком минус.

1) Имеются две причины изменения состояния S₀₀:

- появление заявки типа A (интенсивность λ₁) и переход в состояние S₁₀;

- появление заявки типа B (интенсивность λ₂) и переход в состояние S_0A.

Соответствующие интенсивности вписываются в клетки таблицы с координатами (S₀₀;S₁₀), (S₀₀;S_0A).

Поскольку в установившемся режиме вероятность состояний не зависит от времени, интенсивность перехода системы из любого состояния (в частности и из состояния S₀₀) равна интенсивности возвращения системы в это состояние. Интенсивность возвращения вписывается в клетку таблицы с координатами (S₀₀;S₀₀) со знаком минус.

В остальные ячейки столбца S₀₀ вписываются нули.

Таким образом, сумма чисел в столбце S₀₀ оказывается равной нулю.

2) Имеются три причины изменения состояния S₁₀:

- окончание обслуживания заявки типа A (интенсивность μ₁) с возвращением в состояние S₀₀

- появление типа A (интенсивность λ₁) и переход в состояние S₂₀.

- появление типа B (интенсивность λ₂) переход в состояние S₁₁.

Соответствующие числа вписываются в клетки таблицы с координатами (S₁₀;S₀₀), (S₁₀;S₂₀), (S₁₀;S₁₁).

Интенсивности возвращения вписываются в клетку таблицы с координатами (S₁₀;S₁₀) со знаком минус. В остальные ячейки столбца S₁₀ вписывается ноль.

Таким образом, сумма чисел в столбце S₁₀ оказывается равной нулю.

Аналогично заполняются и остальные ячейки таблицы.

Соединив возможные состояния системы стрелками переходов в соответствие с таблицей, получим граф состояний системы.

Из таблицы 11.1 получаем систему однородных линейных уравнений

Нормировочное уравнение ,

p_ij - вероятность нахождении системы в состоянии S _{i j}.

Для того, что бы найти вероятности состояний введем вместо, скажем, второго уравнения нормировочное уравнение. Получаем систему неоднородных линейных уравнений, из которых находятся предельные вероятности состояний системы.

Отметим, что любая система массового обслуживания в определенном смысле является системой с приоритетным обслуживанием, т.к. в любой системе массового обслуживания потерю работоспособности можно рассматривать как поступление заявки высшего приоритета на ее восстановление (ремонт). Параметр этого потока высшего приоритета: l_отк=1/T_отк (T_отк - среднее время наработки до отказа), а среднее время обслуживания – μ_восст=1/T_восст (T_восст - среднее время восстановления отказавшего канала).