Теоретико-множественная модель

Модель «черного ящика» позволяет решать достаточно широкий спектр задач, требующих ответа на вопрос о свойствах объекта-оригинала в целом. Внутренние же причины, обусловливающие эти свойства, модели такого типа могут описывать лишь косвенно. Для поиска же ответов на вопросы как устроена система, как протекают ее внутренние процессы и почему она функционирует именно так, а не иначе и, соответственно, что и как для этого нужно делать, требуются иные модели. Одним из типов модели, которые позволяют судить о том, как устроена система, является модель ее структуры.

Моделями структуры называют формализованное описание составляющих систему компонентов и фиксированных между ними отношений. Наиболее распространенной формой таких моделей широко применяемые в повседневной деятельности являются различные графические схемы, однако они практически не подходят для формализованных преобразований и здесь не рассматриваются. К моделям структуры можно отнести совокупности связанных между собой моделей черного ящика. Кстати, строго говоря, модель "черного ящика" – в некоторой степени уже является структурированной моделью: ведь для ее построения обычно используются сведения о некоторых связях рассматриваемой системы со средой, по крайней мере то, что относится данная связь к числу входов или является выходом.

Для описания структуры системы часто используются так называемые теоретико-множественные модели. Модель называется теоретико-множественной, если в описании объекта моделирования, как системы, используются только множества и заданные на этих множествах отношения.

Строго говоря, все способы задания формального описания не более чем отношения. Однако когда говорят о теоретико-множественной модели, то имеют ввиду предельно общий вид модели

,

где - базовое множество модели, - множество заданных на отношений.

При моделировании в целом и при построении теоретико-множественных моделей именно отношениям отводится важнейшее место, поскольку всякое отношение можно рассматривать, как описание состояний объектов или взаимодействие. В частности можно провести следующие параллели между вербальным описанием объекта рассмотрения и его теоретико-множественной модели. Действительно, каждое высказывание содержит две основные лингвистические категории: термы (денотанты) и функтуры. В модели термы используются для обозначения объектов, а функторы – для обозначения отношений между ними.

Пусть некоторое множество. Соответствие частного вида между множеством и этим же множеством обычно называют бинарным отношением на множестве . Если , то говорят, что элемент находится в отношении с элементом , и этот факт обычно обозначают через . В общем случае можно рассматривать отношения между элементами, т.е. -местные отношения [70].

Поскольку понятие отношение используется при математическом моделировании в качестве базового, то полезно напомнить следующие моменты теории отношений. Определяющими атрибутами любого отношения являются [71]:

· свойство, по которому определяется отношение рассматриваемых элементов;

· размерность, или, другими словами, мера данного свойства, определяющая соответствующую единицу измерения;

· область значений, представляющая собой базовое множество данного свойства;

· имяотношения, которое является символическим ярлыком его сущности. (Сущность есть концентрированное выражение свойств некоторого объекта);

· время, к которомуотносится отношение (настоящее, прошедшее или будущее);

· формула, представляющая собой конструкцию из символов определенного языка, отражающую сущность отношения;

Всеобщими свойствами отношений являются:

· истинность – характеристика реальности отношения в определенных условиях; отношение, как субъективное отражение объективной реальности, может быть истинным, ложным или неопределенным, мерой истинности, как правило, служит вероятность;

· местность, по количеству аргументов отношение может быть одноместным, двухместным и так далее, вообще говоря, n-местным;

· сущность, как концентрированное выражение совокупности основных логических свойств отношения: симметричности, транзитивности, рефлексивности, антисимметричности и антирефлексивности;

· предметность, устанавливающая связь отношения с конкретными свойствами конкретных элементов.

При рассмотрении сложной системы с многоуровневой структурой число элементов самой модели становится весьма большим, их перечисление ненаглядным, трудно воспринимаемым и анализируемым. Такого рода трудности обычно преодолевают путем упрощения модели за счет более узкого, конкретного представления объекта.

Теоретико-множественное описание представляет собой универсальную модель, поскольку может быть применена к весьма широкому классу систем. Более того, можно признать целесообразным построение теоретико-множественной модели в качестве первоначального формального описания объекта моделирования. Именно в таком виде удобно формализовать концептуальное описание системы, поскольку концептуальная модель в конечно счете и есть описание определенной структуры взаимосвязанных понятий и отношений между ними. Теоретико-множественные модели часто выступают основой для построения так называемых типовых моделей.

В качестве примера теоретико-множественной модели приведем модель построения иерархических онтологий основанных на отношении наследования атрибутов понятий данной предметной области [72].

Пусть имеется некоторая онтология, включающая известное количество концептов, между которыми установлено отношение наследования. Каждый концепт считается описанным, т.е. известен состав, описывающих его атрибутов.

Эксперт, ознакомившись с существующей онтологией (со списком концептов и атрибутов) предполагает включить в состав онтологии новый концепт. Для этого он формирует полный с его точки зрения набор атрибутов вводимого концепта и вводит его в компьютер. Далее компьютер в автоматическом режиме находит место вводимого концепта в онтологии и фиксирует его там.

Ставится задача построения модели автоматического размещения в существующую онтологию нового концепта при условии сохранения корректности ее структуры.

Моделью онтологии назовем следующий кортеж

,

где - множество концептов, образующих онтологию , , т.е. ;

- множество атрибутов концепта ( - количество атрибутов, описывающих данный концепт);

- отношение непосредственного наследования. Отношение удобно задавать матрицей размером : если концепт в данной онтологии непосредственно наследует концепту , т.е. , то элемент , в противном случае, если , то Нахождение двух концептов в отношении непосредственного наследования иерархии онтологии свидетельствует о том, что между ними нет ни одного иного концепта

Наряду с непосредственным наследованием (наследование родителям) введем понятие опосредованного наследования (наследование прародителям). Достаточным условием опосредованного наследования (или просто наследования) концепта концепту является условие . Заметим, что для непосредственного наследования это условие является лишь необходимым . Обратное следование в общем случае не имеет места. В представленной на рис.3.2. структуре, например, концепт непосредственно наследует , а концепт наследует лишь опосредовано, через концепт . Содержательно наследование означает, что наследующий концепт содержит все атрибуты своих «родителей» и «прародителей», а также еще один или несколько «лично своих атрибутов».

Рис.3.2. Пример структуры онтологии

Примечание. Если выполнено условие , то концепты и будем считать концептами-синонимами. Будем считать, что введение концепта-синонима не меняет онтологию. Вместе с тем для фиксации наличий у некоторых концептов данной онтологии синонимов может быть сформирована специальная матрица, используемая исключительно для информирования экспертов.

В онтологии могут присутствовать так называемые «обобщающие концепты». Концепт называется обобщающим по отношению к концептам и , если . В онтологии, представленной на рис.3.2. концепт является обобщающим для концептов и . Очевидно, что концепт может быть обобщением произвольного числа концептов.

Следует обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Онтология считается построенной корректно, если в ней отсутствуют структуры ложного обобщения. Содержательно обобщение является ложным, если концепт непосредственно наследует двум концептам (или большему их числу), но один (или несколько) из них одновременно является (возможно и опосредованным) наследником другого. Условие отсутствия в онтологии ложных обобщений следующее:

Данную ситуацию демонстрирует рис.3.3.

Рис.3.3. Пример ложной структуры обобщения.

Основная идея предлагаемого метода построения онтологии изложенная в работе [73] заключается в том, чтобы для вводимого концепта найти тот концепт в существующей онтологии, которому он непосредственно наследует при отсутствии ложных обобщений.

Опишем процедуру автоматического наращивания онтологии. Вначале должен быть реализован стартовый, так называемый нулевой шаг – сформирование элементарной онтологии. Корневым называем такой концепт, атрибуты которого наследуют все концепты данной онтологии. Для формирования корневого концепта вводится его имя и список присущих ему атрибутов. В качестве первого концепта целесообразно (хотя и не обязательно) выбирать наиболее общее для данной предметной области понятие. Следующий вводимый концепт , если он наследует корневому концепту, становится непосредственно ему следующим (). В противном случае наоборот, вводимый концепт становится корневым, а корневой ему непосредственно наследующим. В обоих случаях элементарная онтология построена.

Все последующие шаги есть повторение процедуры добавления в построенную онтологию очередного концепта. Пусть эксперт, желающий ввести в существующую онтологию новый концепт, присвоил вводимому концепту имя , а также сформировал множество его атрибутов . После введения этих сведений все остальные операции по наращиванию онтологии за счет введения в нее концепта совершаются автоматически.

Для существующей онтологии всегда сформирован упорядоченный (по мере поступления всех включенных в онтологию концептов) полный набор ее атрибутов :

Эксперту предлагается указать из него все атрибуты характерные, по его мнению, для вводимого концепта и добавить, если он считает необходимым, новые, т.е. сформировать множество атрибутов вводимого концепта .

Заметим, формируя , эксперт вводит в онтологию новые знания. Следующий этап – определение места для нового концепта в онтологии и внесение в нее всех соответствующих изменений выполняется без участия людей.

Суть поиска места установки вводимого концепта заключается в поиске всех потенциальных его родителей и выбора из них только тех, которые совместно с вводимым концептом не образуют ложных обобщений.

Процедуру поиска целесообразно начинать с корневого концепта, поскольку особенностью корневого концепта является то, что его атрибуты (по определению) наследуются всеми иными концептами онтологии. Это касается и вводимого концепта, однако требуется проверка того факта, что может вводиться более общий концепт, чем находящийся в онтологии. Если существующий в онтологии корневой концепт наследует вводимому концепту, т.е. , то после тщательной проверки вводимого множества атрибутов (рекомендуемой эксперту системой интерпретации) в онтологии производится смена корневого концепта, им становится вводимый концепт.

В противном случае переходят к общей части процедуры. Из корневого концепта и непосредственно наследующих ему концептов для вводимого концепта формируется множество потенциальных концептов-родителей таких, что . Корневой концепт безусловно вводится в формируемое в процессе процедуры отношение (его элементы определяют потенциально возможные места размещения вводимого концепта): , т.е. .

Опишем последующие шаги предлагаемой процедуры.

1. Организуется просмотр потенциальных концептов-родителей. Если (все потенциальные концепты-родители рассмотрены), то переходят к п.5. Иначе к п.2.

2. Из выбирают следующий по порядку элемент. Пусть из выбран концепт | . Тогда возможны три варианта:

2.1. . В этом случае концепт и все его наследники признаются не перспективными и исключается из множества () (заметим, что данное обстоятельство свидетельствует о том, что данный алгоритм «быстрее», чем полный перебор). Для выбора следующего кандидата переходят к п.1.

2.2. . Это тот случай, когда вводимый концепт должен быть вставлен между и , где . В этом случае концепт и все его наследники признаются не перспективными и исключается из множества () (заметим, что данное обстоятельство свидетельствует о том, что данный алгоритм «быстрее», чем полный перебор). Существовавшее в онтологии отношение исключается, т.е. и водятся новые два отношения и , и . На рис.3.4. иллюстрируется ситуация, когда в онтологию (см. Рис.3.2.) включен концепт . Далее необходимо проверить, является ли введенный концепт обобщенным. Для этого процедура просто должна быть продолжена, переходят к п.1.

2.3. . Это означает, что наследует . Вводим в множество новый элемент: , т.е. (зафиксировано потенциальное место для вводимого концепта) и исключается из множества (). Очевидно, что в таком случае корневой концепт также исключается из множества () и, что важно, из множества .

3. Из потенциальных мест размещения вводимого концепта (т.е. ) исключают, если таковой имеется, менее перспективный концепт , а именно: , т.е.

4. Для формируется множество - множество непосредственно наследуемых ему концептов таких, что . Множество объединяют с множеством : и переходят к п.1.

5. Место для включения вводимого концепта найдено () и он включаться в состав онтологии. В том случае, если найдено лишь одно потенциальное место (), то: .

Если же в множестве временно образованного отношения находится более одного элемента, то соответствующий ему концепт онтологии является обобщением. Тогда

, т.е.

Рис.3.4. Иллюстрация включения в онтологию нового концепта путем разрыва ранее существовавшего отношения.

Эта модель, ориентированная на системы семантически-ориентированного доступаможет быть представлена кортежем , состоящим из множества понятий , множества атрибутов и заданного на множестве понятий отношения непосредственного наследования таких, что:

· - множество образующих онтологию понятий, где , ;

· - множество атрибутов в онтологии , где - совокупность атрибутов понятия ;

· - отношение непосредственного наследования, которое задано матрицей размером такой, что , если () и , если . Причем дочернее понятие непосредственно наследует родительскому понятию , если .