2015-04-20
1951
1. Окружность. Вычислим момент инерции материальной окружности радиуса R и массы М относительно ее центра О (рис. 8.3). Для этого разобьем всю окружность на бесконечно малые элементы массой m. Все элементы находятся от точки О на одном расстоянии R, поэтому искомый момент равен
. (8.17)
| R |
| O |
Рис. 8.3
2. Тонкий диск. Момент инерции диска радиуса R и массы М относительно его центра О (рис. 8.4) вычислим следующим образом. Разобьем диск концентрическими окружностями на элементарные плоские кольца радиуса r, шириной - Dr. Массу кольца обозначим m. Искомый момент инерции равен сумме всех моментов инерции элементарных колец
.
Обозначим поверхностную плотность через g, тогда
.
Площадь элементарного кольца представим в виде
,
тогда
.
. (8.18)
| Dr |
| r |
| R |
| O |
Рис. 8.4
3. Круглый цилиндр радиуса R, массой М. Разобьем весь цилиндр на тонкие диски. Момент инерции диска
,
где m – масса диска.
Искомый момент инерции цилиндра равен сумме моментов инерции всех дисков
. (8.19)
4. Шар. Вычислим момент инерции шара массой М и радиусом R относительно его центра. Обозначим плотность, приходящуюся на единицу объема r.
,
где V – объем шара.
,
тогда
.
Разобьем шор концентрическими сферами на бесконечно тонкие сферические слои радиуса r и толщиной Dr. Так как все частицы слоя находятся на одинаковом расстоянии от центра О, то момент инерции слоя равен
.
Объем сферы равен
,
масса сферы
,
тогда момент инерции шара равен
.
Подставляя значение r, получим
. (8.20)
