Рассмотрим точку М, движущуюся прямолинейно под действием одной только восстанавливающей силы , направленной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра. Проекция силы на ось О x (рис. 9.1) будет равна
. (9.1)
О |
М |
F |
x |
x |
Рис 9.1 |
Дифференциальное уравнение движения точки М имеет следующий вид
. (9.2)
Разделив это уравнение на m и вводя обозначение , приведем его к виду
. (9.3)
Уравнение (9.3) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде . Пологая в уравнении (9.3) , получим для описания n так называемое характеристическое уравнение, имеющее вид . Так как корни этого характеристического уравнения являются чисто мнимыми (n1,2=±ik),то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (9.3) имеет вид
, (9.4)
где С1 и С2 – постоянные интегрирования.
Если вместо постоянных С1 и С2 ввести постоянные а и a, такие, что , , то получим
. (9.5)
Уравнение (9.5) есть уравнение гармонического колебания. То есть, в случае прямолинейного движения под действием восстанавливающей силы, пропорциональной расстоянию от центра, материальная точка совершает гармоническое колебание.
Величина а – наибольшее отклонение точки М от центра О,называется амплитудой колебания, аргумент называется фазой колебания, а величина a называется начальной фазой колебания.
Скорость точки при гармоническом колебании определяется по формуле
. (9.6)
Промежуток времени Т, в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на 2p, следовательно kT=2p, откуда перод
. (9.7)
Величина n, обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за одну секунду, называется частотой колебаний
. (9.8)
Величина k отличается от n только постоянным множителем 2p, то есть эта величина определяет число полных колебаний, которые совершает точка в течение 2p секунд. Эта величина k называется круговой частотой колебания.
Значения а и a - определяются по начальным условиям движения. Считая при t=0 x=0 и v=v0, получим из (9.5) и (9.6) , , отсюда находим:
(9.9)
Итак, свободные колебания при отсутствии сопротивления обладают следующими свойствами:
1. амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий;
2. круговая частота k, а следовательно, и период T колебаний от начальных условий не зависят и являются неизменными характеристиками данной колеблющейся системы.