Следовательно

.

Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде

Теорема 1. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x₀, y₀) и ее аргументы x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t₀, причем x(t₀) = x₀, y(t₀) = y₀.

Тогда сложная функция z = f(x(t), y(t)) переменной t дифференцируема в точке t₀ и ее производная вычисляется по формуле

dz dt (t0) = ∂z ∂x (x0, y0) · dx dt (t0) + ∂z ∂y (x0, y0) · dy dt (t0).

(1)

Доказательство. Так как функции x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t = t₀, то их приращения Δx и Δy, соответствующее приращению аргумента Δt, представимы в виде:

Δx = dx dt (t0) · Δt + α1 · Δt, Δy = dy dt (t0) · Δt + β1 · Δt,

(2)

где α₁ и β₁ — бесконечно малые функции при Δt → 0.

Так как функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x₀, y₀), где x₀ = x(t₀), y₀ = y(t₀), то ее приращение Δz, соответствующее приращениям аргументов Δx и Δy, представимо в виде

Δz = ∂z ∂x (x0 y0) · Δx + ∂z ∂y (x0, y0) · Δy + α · Δx + β · Δy,

(3)

где α и β — бесконечно малые функции при Δx → 0, Δy → 0.

Из дифференцируемости функций x(t), y(t) в точке t₀ следует их непрерывность в этой точке, т.е. Δx → 0, Δy → 0 при Δt → 0. Поэтому α → 0 и β → 0 при Δt → 0.

Подставляя выражения (2) в формулу (3), получаем

Δz = æ ç è ∂z ∂x (x0, y0) · dx dt (t0) + ∂z ∂y (x0, y0) · dy dt (t0) ö ÷ ø · Δt + γΔt.

(4)

Здесь

γ = ∂z ∂x (x0, y0) · α1 + ∂z ∂y (x0, y0) · β1 + α · æ ç è dx dt (t0) + α1 ö ÷ ø + β · æ ç è dy dt (t0) + β1 ö ÷ ø

— бесконечно малая функция при Δt → 0.

Обозначив в (4) выражение в скобках буквой A (A не зависит от Δt), получаем

Δz = A · Δt + γ · Δt,

т.е. приращение Δz представлено как сумма линейной части приращения Δt и бесконечно малой более высокого порядка, чем Δt. Отсюда следуют дифференцируемость сложной функции z = f(x(t), y(t)) в точке t = t₀ и формула (1) для dz / dt в этой точке. Теорема доказана.

Аналогично формулируются и доказываются теоремы о дифференцируемости сложной функции любого числа переменных. Например:

Теорема 2. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x₀, y₀) и ее аргументы x = x(u, v) и y = y(u, v) дифференцируемы в точке (u₀, v₀), причем x(u₀, v₀) = x₀, y(u₀, v₀) = y₀.

Тогда сложная функция z = f(x(u, v), y(u, v)) переменных u и v дифференцируема в точке (u₀, v₀) и ее частные производные вычисляются по формулам

∂z ∂u = ∂z ∂x · ∂x ∂u + ∂z ∂y · ∂y ∂u ,

(5)

∂z ∂v = ∂z ∂x · ∂x ∂v + ∂z ∂y · ∂y ∂v .

(6)

(Все производные в этих формулах вычисляются в соответствующих точках.)

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова ``Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения". М.: Изд–во МЭИ, 2002. (Стр. 134.)

Инвариантность формы полного дифференциала

Пусть функция z = f(x, y), где x и y — независимые переменные, дифференцируема в некоторой точке (x₀, y₀). Известно, что ее дифференциал в этой точке определяется формулой

dz = ∂z ∂x (x0, y0) · dx + ∂z ∂y (x0, y0) · dy,

где dx = Δx и dy = Δy — приращения независимых переменных x и y.

Пусть теперь x и y — не независимые переменные, а функции x = x(u, v) и y = y(u, v), дифференцируемые в точке (u₀, v₀). Тогда по теореме 2 сложная функция z = f(x(u, v), y(u,v)) переменных u и vдифференцируема в точке (u₀, v₀). Следовательно, ее дифференциал определяется формулой

dz = ∂z ∂u (u0, v0) · du + ∂z ∂v (u0, v0) · dv.

Подставляя сюда

∂z

∂u

(u₀, v₀) и

∂z

∂v

(u₀, v₀), определяемые формулами (5) и (6), и выполняя простые преобразования, получаем

dz = æ ç è ∂z ∂x · ∂x ∂u + ∂z ∂y · ∂y ∂u ö ÷ ø du + æ ç è ∂z ∂x · ∂x ∂v + ∂z ∂y · ∂y ∂v ö ÷ ø dv =

= ∂z ∂x æ ç è ∂x ∂u du + ∂x ∂v dv ö ÷ ø + ∂z ∂y æ ç è ∂y ∂u du + ∂y ∂v dv ö ÷ ø = ∂z ∂x dx + ∂z ∂y dy.

Таким образом, дифференциал функции z = f(x, y), когда x и y являются функциями, совпадает по форме с дифференциалом функции z = f(x,y), когда x и y — независимые переменные. Это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Следует однако иметь в виду, что в случае независимых переменных x и y их дифференциалы dx и dy совпадают с приращениями Δx и Δy. В случае, когда x и y сами являются функциями, их дифференциалы, вообще говоря, не совпадают с приращениями Δx и Δy, а являются лишь их линейными частями.

Свойство инвариантности формы полного дифференциала распространяется на функции любого числа переменных.

¾¾¾¾ * * * ¾¾¾¾

Теорема. Пусть функция является обратной для функции . Если существует отличная от нуля производная функции по переменной x, то существует и производная обратной функции по переменной y. При этом

Доказательство. По определению производной

Согласно теореме о непрерывности дифференцируемых функциях, является непрерывной функцией и, следовательно, при ∆ x → 0. Тогда

что влечет за собой доказываемое утверждение.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f (x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:

Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.

Отсюда видно, что искомая производная равна