2015-04-20
556
Теорема 6.2. (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство: Пусть { x n} - ограниченная последовательность, то есть все ее элементы лежат на некотором сегменте [ a, b ].
a £ x n £ b (" n).
(здесь рисунок)
Разделим сегмент [ a, b ] пополам. По крайней мере на одной из половин сегмента [ a, b ] лежит бесконечно много членов последовательности { x n}, обозначим эту половину через [ a 1, b 1]. Возьмем какой-нибудь 
: a 1£ £ b 1. Далее разделим сегмент [ a 1, b 1] пополам и обозначим через [ a 2, b 2] ту половину, на которой находится бесконечно много членов последовательности { x n}. Выберем 
Î [ a 2, b 2], k 2 > k 1. a 2£ £ b 2. Затем разделим сегмент [ a 2, b 2] пополам, и так далее. Продолжая этот процесс, получим стягивающуюся систему сегментов [ a 1, b 1], [ a 2 , b 2], …, [ a n, b n], … (так как b n- a n = 
® 0 при n ® ¥), и последовательность 
, которая является подпоследовательностью последовательности { x n}.
" n: a n£ 
£ b n. (1)
По теореме 6.1 (Теорема 6.1. Существует, и притом только одна, точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы) $ точка с: lim a n = lim b n = c. Отсюда и из неравенства (1) следует, что ® c при n ® ¥. Таким образом, мы выделили из последовательности { x n} сходящуюся подпоследовательность.
|
|
|
