2015-04-20
1417
Пусть дана последовательность сегментов [ a 1, b 1], [ a 2 , b 2], …, [ a n, b n], … - такая, что каждый следующий сегмент содержится в предыдущем.
(здесь рисунок)
" n: a n £ a n+1< b n+1£ b n, (1)
и пусть длина n -го сегмента b n - a n® 0 при n ® ¥. Такую последовательность сегментов назовем стягивающейся системой сегментов.
Теорема 6.1. Существует, и притом только одна, точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.
Доказательство: Из неравенств (1) следует: { a n} - неубывающая последовательность, { b n} - невозрастающая. Кроме того, обе эти последовательности ограничены, так как все их члены лежат на сегменте [ a, b ]. Следовательно, эти последовательности сходятся. Так как b n - a n® 0 при n ® ¥, эти последовательности имеют один и тот же предел. lim a n = lim b n = c. Так как { a n} - неубывающая последовательность, a n< c (" n). " n: a n £ c £ b n , то есть c Î [ a n, b n] " n. Существование точки, принадлежащей всем сегментам стягивающейся системы, доказано. Докажем теперь, что такая точка только одна. Предположим, существует другая точка d Î [ a n, b n] " n. Пусть для определенности d > c.
(здесь рисунок)
Но в этом случае b n - a n ³ d - c > 0, lim (b n - a n) = d - c > 0, что противоречит условию lim (b n - a n) = 0. Итак, точка с - единственная, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.
Теорема доказана.
Эта теорема выражает свойство, которое называется непрерывностью множества вещественных чисел. Множество рациональных чисел этим свойством не обладает.
