Доказательство. В силу второй теоремы Вейерштрасса f(x) имеет на сегменте [a, b] максимальное и минимальное значения

В силу второй теоремы Вейерштрасса f (x) имеет на сегменте [ a, b ] максимальное и минимальное значения.

M = f (x), m = f (x).

Возможны два случая:

1) M = m => f (x) = M = m = const. " точки c Î [ a, b ]: f’ (c) = 0.

2) M > m. Так как f’ (a) = f’ (b), то по крайней мере одно из своих значений (M или m) f (x) принимает во внутренней точке c сегмента [ a, b ].

(здесь рисунок)

По теореме 7.6 f’ (c) = 0.