Ортонормированный базис

Базис любого конечномерного подпространства в унитарном или евклидовом пространстве является невырожденным рядом векторов и потому согласно теореме 2 предыдущего параграфа может быть проортогонализирован и пронормирован. Таким образом, в любом конечномерном подпространстве (и, в частности, во всем пространстве , если оно конечномерно) существует ортонормированный базис.

Пусть – ортонормированный базис пространства . Обозначим через координаты произвольного вектора в этом базисе:

Умножая обе части этого равенства справа на и учитывая ортонормированность базиса, легко найдем:

,

т. е. в ортонормированном базисе координата вектора равна скалярному произведению его на соответствующий базисный орт

. (41)

Пусть и суть соответственно координаты одного и того же вектора в двух различных ортонормированных базисах и унитарного пространства . Формулы преобразования координат имеют вид

. (42)

При этом коэффициенты , образующие -й столбец матрицы , являются, как нетрудно видеть, координатами вектора в базисе . Поэтому, записывая в координатах [см. (10)] условия ортонормированности базиса , получим соотношения

(43)

Преобразование (42), у которого коэффициенты удовлетворяют условию (43), называется унитарным, а соответствующая матрица – унитарной матрицей. Таким образом, в -мерном унитарном пространстве переход от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному осуществляется при помощи унитарного преобразования координат.

Пусть дано -мерное евклидово пространство . Переход от одного ортонормированного базиса в к другому осуществляется при помощи преобразования координат

, (44)

коэффициенты которого связаны между собой соотношениями

. (45)

Такое преобразование координат называется ортогональным, а соответствующая матрица – ортогональной матрицей.

Отметим интересную матричную запись процесса ортогонализации. Пусть – произвольная неособенная матрица с комплексными элементами. Рассмотрим унитарное пространство с ортонормированным базисом и определим линейно независимые векторы равенством

.

Подвергнем векторы процессу ортогонализации. Полученный ортонормированный базис в обозначим через . Пусть при этом

Тогда ,т. е.

где – некоторые комплексные числа. Полагая при , будем иметь

. Переходя здесь к координатам и вводя верхнюю треугольную матрицу и унитарную матрицу , получим:

,или . (*)

Согласно этой формуле произвольная неособенная матрица представима в виде произведения унитарной матрицы на верхнюю треугольную .

Так как процесс ортогонализации однозначно определяет векторы с точностью до скалярных множителей , то в формуле множители и определяются однозначно с точностью до диагонального множителя :

. В этом можно убедиться и непосредственно.

Замечание 1. Если – вещественная матрица, то в формуле (*) множители и можно выбрать вещественными. В этом случае – ортогональная матрица.

Замечание 2. Формула (*) сохраняет свою силу и для особенной матрицы . В этом можно убедиться, полагая , где .

Тогда . Выделяя из последовательности сходящуюся подпоследовательность и переходя к пределу, из равенства при , получим искомое разложение . Однако в случае множители U и C уже не определяются однозначно с точностью до диагонального множителя .

Замечание 3. Вместо (*) можно получить формулу

A=DW, (**)

Где D – нижняя треугольная, a W – унитарная матрица. Действительно, применяя установленную ранее формулу (*) к транспонированной матрице A’

и полагая , получим (**).

Квадратичной формой от n неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Обозначая коэффициент при через , а при произведении – через , квадратичную форму Q можно представить в виде

.

Симметричная матрица называется матрицей квадратичной формы Q.

Пример. Написать матрицу квадратичной формы

.

Здесь

Следовательно,

В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид

A , где Если в квадратичной форме А неизвестные подвергнуть линейному преобразованию , где ,

получится квадратичная форма с матрицей . Матрица S называется матрицей линейного преобразования неизвестных. Если S – невырожденная матрица, то линейное преобразование неизвестных также называется невырожденным.

Рангом квадратичной формы А называется ранг матрицы А. Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных.

Для каждой квадратичной формы А можно подобрать такое линейное преобразование неизвестных с ортогональной матрицей S (квадратная матрица S называется ортогональной,если ), что матрица квадратичной формы будет диагональной, т. е. квадратичная форма приводится к сумме квадратов

. (8.1)

Закон инерции квадратичных форм. Приводя квадратичную форму к сумме квадратов разными способами, мы будем получать в формуле (8.1) разные коэффициенты. Однако существует следующее важное обстоятельство (закон инерции квадратичных форм): если квадратичная форма приводится к сумме квадратов в двух разных базисах, то число членов с положительными коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях одно и то же. Легко увидеть, что сумма равна рангу квадратичной формы А . Разность называется сигнатурой квадратичной формы А .

Квадратичная форма А называется:

1) положительно(отрицательно)-определенной, если для любого ненулевого выполняется неравенство А > 0 ( А < 0);

2 знакопеременной, если существуют такие и , что А > 0 А <0;

3) положительно(отрицательно)-полуопределенной, или квазизнакоопределенной, если для всех А ³ 0 ( А £ 0), но имеется отличный от нуля вектор , для которого А = 0.

Ясно, что положительно-определенная квадратичная форма приводится к сумме квадратов с положительными коэффициентами, а положительно-полуопределенная форма – с неотрицательными коэффициентами. Важным условием положительной определенности квадратичной формы является следующий критерий (критерий Сильвестра).

Для того чтобы квадратичная форма А была положительно-определенной, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные, или угловые, миноры

матрицы Теперь нетрудно найти и условия отрицательной определенности квадратичной формы. Для того чтобы квадратичная форма А была отрицательно-определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательны, а все главные миноры четного порядка – положительны.

Теорема 8.1. Квадратичная форма положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А положительны (отрицательны).

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

1. Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда a=c; b=d

2. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число a+c+i(b+d)

3. Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число ac-bd+i(ad+bc)

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,

Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что , а именно

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i 3 = 3 i. Чисто мнимое число i 1 = 1 i = i обладает удивительным свойством:

Таким образом,

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,

то есть как раз получается нужная формула.

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором

величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Если число z = a + bi, то число называется комплексно сопряжённым с числом z.

Комплексно сопряжённое число обозначается Для этого числа справедливы соотношения:

Заметим, что последнее соотношение сводит операцию деления комплексных чисел к умножению и последующему делению на действительное число