2015-04-20
403
Существует также показательная форма комплексного числа связанная с тригонометрической по формуле Эйлера:
 .
| (9) |
Данное соотношение легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:
 .
| (10) |
Представим ряд в виде суммы четных и нечетных членов последовательности:
 .
| (11) |
Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях. Выражение (1) задало 
, тогда 
, в свою очередь 
. Таким образом можно рекурентно записать:
 .
| (12) |
Построим аналогичным облразом рекурентное соотношение для нечетных степеней: 
тогда 
, в свою очередь 
, получим:
 .
| (13) |
Таким образом выражение (11) с учетом (12) и (13) принимает вид:
 .
| (14) |
В выражении (14) первая сумма по четным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции косинуса, а вторая сумма по нечетным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции синуса. Таким образом, получено доказательство справедливости формулы Эйлера (9). Используя формулу Эйлера можно сделать ряд важных замечаний: Замечание 1:
 .
| (15) |
Замечание 2:
|
|
|
 .
| (16) |
