Вопрос 2. Угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают окружность, называется центральным углом

Билет 2

Вопрос 2

Угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают окружность, называется центральным углом

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом (∟АВС).

Т: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:Рассмотрим вписанный угол АВС, стороны ВА и ВС которого лежат по разные стороны от луча ВО, проходящего через центр окружности. Пусть D – точка пересечения луча ВО с окружностью. Дуги АD и DC меньше полуокружности, поэтому ими измеряются центральные углы AOD и DOC:ÐAOD=ÈAD, ÐDOC=ÈDC. Треугольник АОВ – равнобедренный по построению, откуда Ð1=Ð2. Поскольку ∟AOD – внешний угол ∆АОВ, то ÐAOD=Ð1+Ð2. Следовательно, Ð2=½ÐAOD=½ ÈAD. Аналогично доказывается, что Ð4=½ÈDC. Значит ÐАВС=Ð2+Ð4= ½ÈAD+½ÈDC=½ÈAC. В случае иного расположения сторон угла АВС доказательство аналогично. Теорема доказана.

Билет 4

Вопрос 1

Первый признак подобия треугольников формулируется в виде теоремы.

Т: Если два угла одного ∆ соответственно равны двум углам другого, то такие ∆-ки подобны.

Дано: Пусть у треугольников ABC и A₁B₁C₁ÐA=ÐA₁, ÐB=ÐB₁.

Докажем, что ∆ABC подобен ∆A₁B₁C₁.

Док-во:Найдём углы С и С₁: ÐС=180º-(ÐA+ÐB), ÐС₁=180º-(ÐA₁+ÐB₁). В силу равенства углов A и A₁, а также B и B₁ ÐC=ÐC₁. По теореме об отношении прощадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем (S)/(S₁)=(AB•AC)/(A₁B₁•A₁C₁)=(AB•BC)/(A₁B₁•B₁C₁)= (BC•AC)/(B₁C₁•A₁C₁). Символами S и S₁ обозначены площади треугольников ABC и A₁B₁C₁соответственно. Из второго равенства следует, что (AC)/(A₁C₁)=(BC)/(B₁C₁), а из третьего: (AB)/(A₁B₁)=(AC)/(A₁C₁). Сопоставляя полученные результаты, делаем вывод, что (AB)/(A₁B₁)=(BC)/(B₁C₁)=(AC)/(A₁C₁), т.е. сходственные стороны данных ∆-ков пропорциональны. Следовательно, ∆ABC подобен ∆A₁B₁C₁. чтд.