Вопрос 1. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. На рисунке изображён параллелограмм ABCD у которого AB=BC=CD=DA. По определению этот параллелограмм – ромб.

Поскольку ромб – параллелограмм, для него справедливы все свойства и признаки параллелограмма.

Но существует и особое свойство ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

В равнобедренном ∆ABD (AB=AD, так как ABCD – ромб) BO=OD по свойству диагонали параллелограмма, следовательно, AO – медиана, а значит и высота, и биссектриса ∆ABD. Отсюда AO^BD, ÐBAO=ÐDOA.

Обратные утверждения являются признаками ромба:

1) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб

2) Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм ромб.

Билет 24

Вопрос 1.

Третий признак подобия ∆-ков формулируется в виде теоремы.

Теорема: Если 3 стороны одного ∆ пропорциональны 3 сторонам другого, то такие ∆-ки подобны.

Дано: Пусть стороны ∆-ков АВС и А₁В₁С₁пропорциональны: АВ/А₁В₁=ВС/В₁С₁=АС/А₁С₁.

Докажем, что ∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁.

Док-во: построим ∆АВ₂С, у которого Ð1=ÐА₁, Ð2=ÐС₁. ∆-ки АВ₂С и А₁В₁С₁ подобны по 1-ому признаку подобия, значит АВ₂/А₁В₁=В₂С/В₁С₁=АС/А₁С¹. сравнивая полученные пропорции с теми, которые даны в условии, получаем АВ=АВ₂,ВС=В₂С.∆-ки АВС = АВ₂С по 3-м сторонам, следов. ÐА=Ð1, но Ð1=ÐА₁, значит ÐА=ÐА₁. Таким образом у ∆-ков АВС и А₁В₁С₁ пропорциональны стороны и равны углы заключённые между 2-мя сторонами. Следов., по 2-му признаку подобия ∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁.