Проверка гипотез о средней и о доле

Гипотезы о средней

В статистической практике наиболее часто проверяются два вида гипотез о средних величинах:

• гипотеза о равенстве средней величины установленному нор­мативу;

• гипотеза о равенстве средних значений признака двух сово­купностей.

Общий подход к проверке гипотезы о равенстве среднего зна­чения признака в генеральной совокупности некоторой величине Н ₀: = а описан в параграфе 7. В качестве критерия в этом случае целесообразно использовать нормированное отклонение выборочной средней от заданной величины:

(8.1)

где ( μ — средняя квадратическая ошибка выборочной средней, т.е. средняя ошибка выборки. При большом объеме выборки (n ≥ 30) средняя ошибка выборки μ рассчитывается по формуле а при n < 30 – по формуле Если полученное по результатам обследо­вания фактическое значение t- статистики меньше табличного, т.е. t_факт < t, то гипотеза не отклоняется. В противном случае ну­левую гипотезу следует отклонить.

Пример. При оценке влияния изменений в налоговой политике на платежеспособность предприятий одного из регионов установ­лено, что до указанных изменений средний коэффициент покры­тия по этим предприятиям соответствовал нормативу, равному 2. После внесения изменений в действующую налоговую систему было проведено выборочное обследование 49 предприятий реги­она, в результате которого установлено, что средний коэффици­ент покрытия на них составил 1,7 при среднем квадратическом отклонении 0,6.

Выдвигаемая нулевая гипотеза состоит в том, что изменения в проводимой налоговой политике существенно не повлияли на платежеспособность предприятий региона, т.е. коэффициент по­крытия остался на прежнем уровне: H ₀: ≠ 2. В качестве альтер­нативной может быть рассмотрена гипотеза о том, что указанные изменения повлияли на степень платежеспособности предприя­тий: .

Для проверки выдвинутой гипотезы примем уровень значимо­сти α=0,05. Так как вероятность , а ,

то для значения интеграла вероятностей Лапласа находим табличное значение t-статистики: t = 1,96 (см. Приложение 1).

Фактическое значение t-статистики

Так как t_фaкт > t, то выдвинутая гипотеза отклоняется, т.е. из­менения в налоговой системе повлияли на платежеспособность предприятий региона.

Для того чтобы сделать более определенный вывод о характере этих изменений, альтернативную гипотезу сформулируем следу­ющим образом: изменения в налоговой системе привели к сни­жению платежеспособности предприятий региона, т.е. .

Зададим для этого случая уровень значимости а = 0,01. Вероятность , следовательно, значение интеграла вероятностей Лапласа в пределах от –t до 0 равно , а в пределах от -tдо +t соответственно 0,98.

По таблице Приложения 1 находим для данной вероятности зна­чение t-cтатистики: t = 2,33. Так как t_факт > t, то нулевая гипотеза должна быть отклонена, т.е. с вероятностью 0,99 можно считать, что изменения в налоговой системе привели к снижению плате­жеспособности предприятий региона.

Если для проверки выдвинутой гипотезы используется малая выборка, то значение t-статистики определяется с помощью рас­пределения Стьюдента. При этом степень обоснованности выво­да зависит от того, насколько распределение генеральной сово­купности соответствует нормальному закону.

Гипотеза о равенстве средних значений признака двух совокуп­ностей выдвигается часто для того, чтобы проверить влияние како­го-либо фактора на среднюю. Обозначим среднее значение при­знака в этих совокупностях через и , а дисперсии в генеральных совокупностях — соответственно и .В таком случае нулевая гипотеза может быть представлена следующим об­разом: . Для ее проверки проводится выборочное об­следование, при котором объем выборки из первой совокупно­сти составляет , а из второй - Обозначим соответствующие значения средних в этих выборках через и ,а дисперсии и .В качестве критерия при проверке этой гипотезы прини­мается t-статистика, фактическое значение которой по результа­там выборочного обследования рассчитывается по формуле

(8.2)

где - стандартная ошибка разности выборочных средних.

Предположим, что дисперсии в двух совокупностях равны, т.е . Следовательно,

. (8.3)

Если дисперсии в выборочных совокупностях известны, то они могут быть использованы для оценки общей дисперсии. Расчет проводится по формуле средней арифметической взвешенной, где в качестве весов выступает число степеней свободы в каждой вы­борке :

Так как , а , то

Подставим полученное выражение в формулу (8.4), учитывая также формулу:

. (8.4)

Сравнивая фактическое значение t-статистики, рассчитанное по формуле (8.4), с табличным (см. Приложение 3) при задан­ном уровне значимости, можно сделать вывод о необходимости согласиться с выдвинутой гипотезой или отклонить ее.

Пример. Для оценки влияния формы собственности на платежеспособность предприятий отрасли проведено выборочное обследование частных и государственных предприятий, в результате которого получены данные, приведенные в табл. 8.1

Таблица 8.1

Форма собственности	Число обследованных предприятий	Средний коэффициент покрытия	Дисперсия в выборочной совокупности
Частная		1,8	0,25
Государственная		1,2	1,18

В качестве нулевой выдвинем гипотезу о независимости степе­ни платежеспособности предприятий от формы собственности, т.е. о равенстве коэффициентов покрытия на предприятиях указанных форм собственности: . Альтернативной является гипотеза . При проверке выдвинутой гипотезы примем уровень значимости . Рассчитаем по формуле (8.4) фактическое значение t-статистики:

Табличное значение найдем на основе распределения Стьюдента при α = 0,05 и числе степеней свободы v = 16 + 10 — 2 = 24.

Так как , то .

Соответствующее табличное значение t = 2,0639 (см. Приложе­ние 3).Фактическое значение t-статистики меньше табличного, следовательно, с вероятностью 0,95 можно считать, что платеже­способность предприятий не зависит от принятой на них формы собственности.