Решение СЛАУ матричным способом

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, для которой число уравнений равно числу неизвестных, т. е. m = n.

.

В матричной форме система имеет вид: АХ = В,

где .

А – матрица коэффициентов при переменных, или основная матрица системы,

Х – столбец переменных (неизвестных),

В – столбец свободных членов.

Предположим, что квадратная матрица А является невырожденной, т. е. ее определитель не равен нулю. В этом случае существует обратная матрица А ^–1 и решение системы может быть найдено по формуле:

Х = А ^–1 В.

Итак, для того, чтобы решить систему с помощью обратной матрицы, нужно найти обратную матрицу для основной матрицы системы, а затем умножить найденную матрицу слева на столбец свободных членов. Полученная матрица-столбец и будет являться решением системы.

4. Решить СЛАУ матричным методом:

1) 2)

Решение 1). Запишем основную матрицу системы А = и найдем ее определитель: | А | = 5.

Так как определитель не равен нулю, то матрица А имеет обратную. Найдем обратную матрицу (см. пример 1 в 3.)):

А ^–1 = · = .

Найдем решение системы:

Х = А ^–1· В = · · = · = .

Таким образом, решением системы является тройка чисел: х ₁=4, х ₂=2, х ₃=1.